Analysis Beispiele

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{4 x^{6}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \sqrt[3]{x} - \frac{3}{4 x^{6}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Schritt 2.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Schritt 2.10

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Schritt 2.11

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{6}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- \frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{4 x^{6}}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{6}}$ als ${(x^{6})}^{- 1}$ um.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{6}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{6}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{6}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{6})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Schritt 3.7

Multipliziere $x^{- 12}$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.7.1

Bewege $x^{5}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Schritt 3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{5 - 12})$

Schritt 3.7.3

Subtrahiere $12$ von $5$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{4} (- 6 x^{- 7})$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 6 (\frac{3}{4}) x^{- 7}$

Schritt 3.9

Kombiniere $6$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{6 \cdot 3}{4} x^{- 7}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18}{4} x^{- 7}$

Schritt 3.11

Kombiniere $\frac{18}{4}$ und $x^{- 7}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18 x^{- 7}}{4}$

Schritt 3.12

Bringe $x^{- 7}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{18}{4 x^{7}}$

Schritt 3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (9)}{4 x^{7}}$

Schritt 3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{7}$ heraus.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 (9)}{2 (2 x^{7})}$

Schritt 3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \cdot 9}{2 (2 x^{7})}$

Schritt 3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{9}{2 x^{7}}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$\frac{9}{2 x^{7}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$