Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{\ln (x)}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{\ln (x)}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe $x^{\ln (x)}$ als $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (x^{\ln (x)})$ durch Herausziehen von $\ln (x)$ aus dem Logarithmus.

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Schritt 3

Potenziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Schritt 4

Potenziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Schritt 6

Addiere $1$ und $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Schritt 7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln^{2} (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln^{2} (x)$ .

$3 (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\ln (x)$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (x)$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 10

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{1}{x})$

Schritt 11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{\ln (x)}{x}$ und $6$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 6}{x} e^{\ln^{2} (x)}$

Schritt 11.3

Kombiniere $\frac{\ln (x) \cdot 6}{x}$ und $e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 6 e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Schritt 11.4

Bringe $6$ auf die linke Seite von $\ln (x)$ .

$\frac{6 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Schritt 12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1

Vereinfache $6 \ln (x)$ , indem du $6$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Schritt 12.2

Stelle die Faktoren in $\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}$ um.

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{6})}{x}$