Analysis Beispiele

$f (x) = 55.36 e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)$

Schritt 1

Da $55.36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $55.36 e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)$ nach $x$ gleich $55.36 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)]$ .

$55.36 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x} (- 26.9 x + 127.1)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{- 0.5 x}$ und $g (x) = - 26.9 x + 127.1$ .

$55.36 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 26.9 x + 127.1] + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 26.9 x + 127.1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 26.9 x] + \frac{d}{d x} [127.1]$ .

$55.36 (e^{- 0.5 x} (\frac{d}{d x} [- 26.9 x] + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Schritt 3.2

Da $- 26.9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 26.9 x$ nach $x$ gleich $- 26.9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 26.9$ mit $1$ .

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 + \frac{d}{d x} [127.1]) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Schritt 3.5

Da $127.1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $127.1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$55.36 (e^{- 0.5 x} (- 26.9 + 0) + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $- 26.9$ und $0$ .

$55.36 (e^{- 0.5 x} \cdot - 26.9 + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Schritt 3.6.2

Bringe $- 26.9$ auf die linke Seite von $e^{- 0.5 x}$ .

$55.36 (- 26.9 \cdot e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 0.5 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 0.5 x$ .

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 0.5 x]))$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 0.5 x]))$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $- 0.5 x$ .

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} [- 0.5 x]))$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 0.5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.5 x$ nach $x$ gleich $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $1$ .

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

Schritt 5.3.2

Bringe $- 0.5$ auf die linke Seite von $(- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x}$ .

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} - 0.5 \cdot ((- 26.9 x + 127.1) e^{- 0.5 x}))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} + (- 0.5 (- 26.9 x) - 0.5 \cdot 127.1) e^{- 0.5 x})$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x} - 0.5 (- 26.9 x) e^{- 0.5 x} - 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$55.36 (- 26.9 e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 (- 26.9 x) e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

Schritt 6.4

Vereine die Terme

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $- 26.9$ mit $55.36$ .

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 55.36 (- 0.5 (- 26.9 x) e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $- 26.9$ mit $- 0.5$ .

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 55.36 (13.45 x e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

Schritt 6.4.3

Mutltipliziere $13.45$ mit $55.36$ .

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 744.592 (x e^{- 0.5 x}) + 55.36 (- 0.5 \cdot 127.1 e^{- 0.5 x})$

Schritt 6.4.4

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $127.1$ .

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 744.592 x e^{- 0.5 x} + 55.36 (- 63.55 e^{- 0.5 x})$

Schritt 6.4.5

Mutltipliziere $- 63.55$ mit $55.36$ .

$- 1489.184 e^{- 0.5 x} + 744.592 x e^{- 0.5 x} - 3518.128 e^{- 0.5 x}$

Schritt 6.4.6

Subtrahiere $3518.128 e^{- 0.5 x}$ von $- 1489.184 e^{- 0.5 x}$ .

$744.592 x e^{- 0.5 x} - 5007.312 e^{- 0.5 x}$

Schritt 6.5

Stelle die Terme um.

$744.592 e^{- 0.5 x} x - 5007.312 e^{- 0.5 x}$

Schritt 6.6

Stelle die Faktoren in $744.592 e^{- 0.5 x} x - 5007.312 e^{- 0.5 x}$ um.

$744.592 x e^{- 0.5 x} - 5007.312 e^{- 0.5 x}$