Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(6 - 9 x)}^{4}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - 9 x)}^{4}] + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 6 - 9 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 - 9 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $6 - 9 x$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 - 9 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (- 9 \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3} \cdot 1) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + {(6 - 9 x)}^{4} (2 x))$

Schritt 4.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(6 - 9 x)}^{4}$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + 2 \cdot {(6 - 9 x)}^{4} x)$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3})) + 3 (2 {(6 - 9 x)}^{4} x)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $3$ .

$- 108 (x^{2} ({(6 - 9 x)}^{3})) + 3 (2 {(6 - 9 x)}^{4} x)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3} + 6 ({(6 - 9 x)}^{4} x)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ aus $- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3} + 6 {(6 - 9 x)}^{4} x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Faktorisiere $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ aus $- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3}$ heraus.

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 {(6 - 9 x)}^{4} x$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ aus $6 {(6 - 9 x)}^{4} x$ heraus.

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 x {(6 - 9 x)}^{3} (6 - 9 x)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ aus $6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 x {(6 - 9 x)}^{3} (6 - 9 x)$ heraus.

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x + 6 - 9 x)$

Schritt 5.5

Subtrahiere $9 x$ von $- 18 x$ .

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 27 x + 6)$