Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x - 5 x^{\frac{3}{4}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 5 x^{\frac{3}{4}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{3}{4}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{\frac{3}{4}}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$2 - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{4}$ .

$2 - 5 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 - 5 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 - 5 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 - 5 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$2 - 5 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$2 - 5 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - 5 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$2 - 5 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Schritt 3.9

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$2 + \frac{- 5 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$2 + \frac{- 15 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Schritt 3.11

Bringe $x^{- \frac{1}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{- 15}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - \frac{15}{4 x^{\frac{1}{4}}}$