Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x + \frac{18}{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + \frac{18}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{18}{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{18}{x}]$ .

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Schritt 3.1

Da $18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{18}{x}$ nach $x$ gleich $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 + 18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 + 18 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 + 18 (- x^{- 2})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$2 - 18 x^{- 2}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 18 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $- 18$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{- 18}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 - \frac{18}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$- \frac{18}{x^{2}} + 2$