Analysis Beispiele

$f (x) = 3 e^{x} \ln (x)$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 e^{x} \ln (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$3 (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 4

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$3 (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \frac{e^{x}}{x} + 3 (\ln (x) e^{x})$

Schritt 6.2

Kombiniere $3$ und $\frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{3 e^{x}}{x} + 3 \ln (x) e^{x}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$3 e^{x} \ln (x) + \frac{3 e^{x}}{x}$