Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \ln (3 x)$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln (3 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$2 (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{3 x}$ und $2$ .

$\frac{2}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3 x}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x)} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{x} \cdot 1$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $1$ .

$\frac{2}{x}$