Analysis Beispiele

$f (x) = 2 e^{3 x} + \sin (4 x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 e^{3 x} + \sin (4 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 e^{3 x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$6 e^{3 x} + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) \cdot 4$

Schritt 3.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos (4 x)$ .

$6 e^{3 x} + 4 \cos (4 x)$