Analysis Beispiele

$f (x) = - 2 e^{- 5 x} + 15 x^{0.2} - 4$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 e^{- 5 x} + 15 x^{0.2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 e^{- 5 x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 5 x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 5 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 5 x$ .

$- 2 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$- 2 (e^{- 5 x} \cdot - 5) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.6

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $e^{- 5 x}$ .

$- 2 (- 5 \cdot e^{- 5 x}) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$10 e^{- 5 x} + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [15 x^{0.2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $15$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15 x^{0.2}$ nach $x$ gleich $15 \frac{d}{d x} [x^{0.2}]$ .

$10 e^{- 5 x} + 15 \frac{d}{d x} [x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 0.2$ .

$10 e^{- 5 x} + 15 (0.2 x^{- 0.8}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $0.2$ mit $15$ .

$10 e^{- 5 x} + 3 x^{- 0.8} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 e^{- 5 x} + 3 x^{- 0.8} + 0$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 e^{- 5 x} + 3 \frac{1}{x^{0.8}} + 0$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{0.8}}$ .

$10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}} + 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}}$ und $0$ .

$10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}}$