Analysis Beispiele

$f (x) = 12 x {(x^{2} + 10)}^{5}$

Schritt 1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x {(x^{2} + 10)}^{5}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{5}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{5}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 10)}^{5}$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{5}] + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = x^{2} + 10$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 10$ .

$12 (x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$12 (x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 10$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10])) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [10])) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x)) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$12 (x (10 {(x^{2} + 10)}^{4} x) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$12 (x^{1} x (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$12 (x^{1} x^{1} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 (x^{1 + 1} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \cdot 1)$

Schritt 10

Mutltipliziere ${(x^{2} + 10)}^{5}$ mit $1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $10$ mit $12$ .

$120 (x^{2} ({(x^{2} + 10)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

Schritt 11.3

Faktorisiere $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ aus $120 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{4} + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$ heraus.

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Schritt 11.3.1

Faktorisiere $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ aus $120 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{4}$ heraus.

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

Schritt 11.3.2

Faktorisiere $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ aus $12 {(x^{2} + 10)}^{5}$ heraus.

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{4} (x^{2} + 10)$

Schritt 11.3.3

Faktorisiere $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ aus $12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{4} (x^{2} + 10)$ heraus.

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2} + x^{2} + 10)$

Schritt 11.4

Addiere $10 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (11 x^{2} + 10)$