Analysis Beispiele

$f (x) = 10 x - 5 x^{3} + 3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x - 5 x^{3} + 3 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Schritt 2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$10 - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 4.9

Kombiniere $3$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 4.11

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.12

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 4.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 4.13.3

Forme den Ausdruck um.

$10 - 15 x^{2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5

Stelle die Terme um.

$- 15 x^{2} + 10 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$