Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x + 5}{x + 4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 5$ und $g (x) = x + 4$ .

$\frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 4) (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $x + 4$ mit $1$ .

$\frac{x + 4 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x + 4 - (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 4 - (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x + 4 - (x + 5) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x + 4 - (x + 5) \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 4 - (x + 5)}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x + 4 - x - 1 \cdot 5}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 4 - x - 1 \cdot 5$ .

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Schritt 3.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 + 4 - 1 \cdot 5}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $0$ und $4$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 5}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{4 - 5}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$\frac{- 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$