Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x - 7}{x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 7$ und $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x - 7) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x - 7) x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 (x - 7) x$ heraus.

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Schritt 2.7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x - 2 (x - 7) x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (x - 7) x$ heraus.

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 7))}{x^{4}}$

Schritt 2.7.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 2 (x - 7))$ heraus.

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x^{4}}$

Schritt 3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 2 (x - 7)}{x^{3}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot - 7}{x^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 7$ .

$\frac{x - 2 x + 14}{x^{3}}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$\frac{- x + 14}{x^{3}}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + 14}{x^{3}}$

Schritt 4.4

Schreibe $14$ als $- 1 (- 14)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (- 14)}{x^{3}}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 14)$ heraus.

$\frac{- (x - 14)}{x^{3}}$

Schritt 4.6

Schreibe $- (x - 14)$ als $- 1 (x - 14)$ um.

$\frac{- 1 (x - 14)}{x^{3}}$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x - 14}{x^{3}}$