Analysis Beispiele

$f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [a x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x^{4}$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$a (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Schritt 1.2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $a$ .

$4 a x^{3} + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [b x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $b x^{3}$ nach $x$ gleich $b \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 a x^{3} + b \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 a x^{3} + b (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Schritt 1.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $b$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [c x^{2}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $c x^{2}$ nach $x$ gleich $c \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c (2 x) + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Schritt 1.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $c$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [d x]$ .

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Schritt 1.5.1

Da $d$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $d x$ nach $x$ gleich $d \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e]$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $d$ mit $1$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + \frac{d}{d x} [e]$

Schritt 1.6

Da $e$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $e$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + 0$

Schritt 1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.7.1

Addiere $4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$ und $0$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$

Schritt 1.7.2

Stelle die Terme um.

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [d] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} a] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} b] + \frac{d}{d x} [2 c x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (d) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Schritt 2.1.2

Da $d$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $d$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3} a]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4 a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3} a$ nach $x$ gleich $4 a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 a \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 0 + 4 a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2} b]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3 b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2} b$ nach $x$ gleich $3 b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b (2 x) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 c x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $2 c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 c x$ nach $x$ gleich $2 c \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Addiere $0$ und $12 a x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 2 c + 12 x^{2} a + 6 b x$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [a x^{4}] + \frac{d}{d a} [b x^{3}] + \frac{d}{d a} [c x^{2}] + \frac{d}{d a} [d x] + \frac{d}{d a} [e]$ .

$f' (a) = \frac{d}{d a} (a x^{4}) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d a} [a x^{4}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $x^{4}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $a x^{4}$ nach $a$ gleich $x^{4} \frac{d}{d a} [a]$ .

$f' (a) = x^{4} \frac{d}{d a} (a) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (a) = x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$f' (a) = x^{4} + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.3.1

Da $b x^{3}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $b x^{3}$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Schritt 4.1.3.2

Da $c x^{2}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $c x^{2}$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Schritt 4.1.3.3

Da $d x$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $d x$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (e)$

Schritt 4.1.3.4

Da $e$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $e$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

Schritt 4.1.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.1.4.1

Addiere $x^{4}$ und $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $x^{4}$ und $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0$

Schritt 4.1.4.3

Addiere $x^{4}$ und $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0$

Schritt 4.1.4.4

Addiere $x^{4}$ und $0$ .

$f' (a) = x^{4}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{4}$ .

$x^{4}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{4} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{4} = 0$

Schritt 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Schritt 5.3.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 c + 12 {(0)}^{2} a + 6 b (0)$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 c + 12 \cdot 0 a + 6 b (0)$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$2 c + 0 a + 6 b (0)$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $0$ mit $a$ .

$2 c + 0 + 6 b (0)$

Schritt 9.1.4

Multipliziere $6 b (0)$ .

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Schritt 9.1.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $6$ .

$2 c + 0 + 0 b$

Schritt 9.1.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $b$ .

$2 c + 0 + 0$

Schritt 9.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 c + 0 + 0$ .

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Schritt 9.2.1

Addiere $2 c$ und $0$ .

$2 c + 0$

Schritt 9.2.2

Addiere $2 c$ und $0$ .

$2 c$

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11