Analysis Beispiele

$f (x) = e^{9 x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 9 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [9 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x$ .

$e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{9 x} (9 \cdot 1)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$e^{9 x} \cdot 9$

Schritt 1.2.3.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $e^{9 x}$ .

$9 e^{9 x}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 e^{9 x}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [e^{9 x}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (e^{9 x})$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 9 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x$ .

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (9 x))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 9 (e^{u} \frac{d}{d x} (9 x))$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x$ .

$f'' (x) = 9 (e^{9 x} \frac{d}{d x} (9 x))$

Schritt 2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$f'' (x) = 81 e^{9 x} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 81 e^{9 x} \cdot 1$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$f'' (x) = 81 e^{9 x}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$9 e^{9 x} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6