Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{3} x - 2 \sin (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{3} x - 2 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Da $\sqrt{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\sqrt{3} x$ nach $x$ gleich $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\sqrt{3} - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\sqrt{3} - 2 \cos (x)$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- 2 \cos (x) + \sqrt{3}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 \cos (x) + \sqrt{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sqrt{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos (x) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $\sqrt{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\sqrt{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $2 \sin (x)$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 2 \cos (x) + \sqrt{3} = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ durch $- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 8

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Schritt 9

Vereinfache $2 π - \frac{π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 9.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 9.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Schritt 9.3.2

Subtrahiere $π$ von $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Schritt 10

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{6}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{1}{2})$

Schritt 12.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 13

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{π}{6}) - 2 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 14.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.1

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 2 \sin (\frac{π}{6})$

Schritt 14.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 2 (\frac{1}{2})$

Schritt 14.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} + 2 (- 1) (\frac{1}{2})$

Schritt 14.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$

Schritt 14.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 1$

Schritt 14.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{3} π}{6} - 1$ .

$y = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 1$

Schritt 15

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{11 π}{6}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \sin (\frac{11 π}{6})$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$2 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 16.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$2 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 16.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 16.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1$

Schritt 17

$x = \frac{11 π}{6}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{11 π}{6}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{11 π}{6}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{11 π}{6}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{11 π}{6}) - 2 \sin (\frac{11 π}{6})$

Schritt 18.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.1

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{11 π}{6}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3} (11 π)}{6} - 2 \sin (\frac{11 π}{6})$

Schritt 18.2.1.2

Bringe $11$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \cdot (\sqrt{3} π)}{6} - 2 \sin (\frac{11 π}{6})$

Schritt 18.2.1.3

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 2 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Schritt 18.2.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 2 (- \frac{1}{2})$

Schritt 18.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 2 (\frac{- 1}{2})$

Schritt 18.2.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 2 (- 1) (\frac{- 1}{2})$

Schritt 18.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 2 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{2}))$

Schritt 18.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 1 \cdot - 1$

Schritt 18.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1$

Schritt 18.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1$ .

$y = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1$

Schritt 19

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sqrt{3} x - 2 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{\sqrt{3} π}{6} - 1)$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{11 π}{6}, \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20