Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Schritt 2.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1}{2} - \cos (x) = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\cos (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Schritt 5.3.2

Dividiere $\frac{1}{2}$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 7

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 8

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 9

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 9.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 9.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 9.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 9.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 10

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\sin (\frac{π}{3})$

Schritt 12

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 13

$x = \frac{π}{3}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{3}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{3}$ .

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Schritt 14.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 14.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.2.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} (\frac{π}{3})$ .

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Schritt 14.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 14.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 14.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 14.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 15

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5 π}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\sin (\frac{5 π}{3})$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 16.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 16.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 17

$x = \frac{5 π}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5 π}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5 π}{3}$ .

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Schritt 18.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{5 π}{3})$

Schritt 18.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.2.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} (\frac{5 π}{3})$ .

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Schritt 18.2.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{5 π}{3})$

Schritt 18.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} - \sin (\frac{5 π}{3})$

Schritt 18.2.1.2

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 18.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 18.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 18.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + 1 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 18.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 18.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 19

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20