Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{3} - \frac{81}{2} x^{2} + 729 x$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{3} - \frac{81}{2} x^{2} + 729 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.2.5.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- \frac{81}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{81}{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{81}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 2 (\frac{81}{2}) x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.4.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{81}{2}$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 81}{2} x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $81$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162}{2} x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.4.6

Kombiniere $\frac{- 162}{2}$ und $x$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162 x}{2} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 162$ und $2$ .

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Schritt 1.4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 162 x$ heraus.

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 81 x}{1} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.4.7.2.4

Dividiere $- 81 x$ durch $1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Schritt 1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [729 x]$ .

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Schritt 1.5.1

Da $729$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $729 x$ nach $x$ gleich $729 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \cdot 1$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $729$ mit $1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81 x] + \frac{d}{d x} [729]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 81 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 81 x$ nach $x$ gleich $- 81 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (729)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (729)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 81$ mit $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 + \frac{d}{d x} (729)$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $729$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $729$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $3 x^{2} - 18 x - 81$ und $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.2.5.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.4.1

Da $- \frac{81}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{81}{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{81}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 2 (\frac{81}{2}) \cdot x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.4.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{81}{2}$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 81}{2} x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $81$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162}{2} x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.4.6

Kombiniere $\frac{- 162}{2}$ und $x$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162 x}{2} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.4.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 162$ und $2$ .

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Schritt 4.1.4.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 162 x$ heraus.

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.4.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.4.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.4.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.4.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 81 x}{1} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.4.7.2.4

Dividiere $- 81 x$ durch $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Schritt 4.1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [729 x]$ .

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Schritt 4.1.5.1

Da $729$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $729 x$ nach $x$ gleich $729 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 4.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \cdot 1$

Schritt 4.1.5.3

Mutltipliziere $729$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{3} - 9 x^{2}) - 81 x + 729 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (x - 9) - 81 (x - 9) = 0$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 9$ .

$(x - 9) (x^{2} - 81) = 0$

Schritt 5.2.3

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$(x - 9) (x^{2} - 9^{2}) = 0$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 9$ .

$(x - 9) ((x + 9) (x - 9)) = 0$

Schritt 5.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 9) (x + 9) (x - 9) = 0$

Schritt 5.2.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.5.1

Potenziere $x - 9$ mit $1$ .

$(x - 9) (x - 9) (x + 9) = 0$

Schritt 5.2.5.2

Potenziere $x - 9$ mit $1$ .

$(x - 9) (x - 9) (x + 9) = 0$

Schritt 5.2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x - 9)}^{1 + 1} (x + 9) = 0$

Schritt 5.2.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x - 9)}^{2} (x + 9) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 9)}^{2} = 0$

$x + 9 = 0$

Schritt 5.4

Setze ${(x - 9)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze ${(x - 9)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 9)}^{2} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse ${(x - 9)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 5.5

Setze $x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 5.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x - 9)}^{2} (x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 9, - 9$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 9, - 9$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 9$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$3 {(9)}^{2} - 18 \cdot 9 - 81$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$3 \cdot 81 - 18 \cdot 9 - 81$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $81$ .

$243 - 18 \cdot 9 - 81$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $- 18$ mit $9$ .

$243 - 162 - 81$

Schritt 9.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $162$ von $243$ .

$81 - 81$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $81$ von $81$ .

$0$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 9) \cup (9, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 12$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 9)$ in die erste Ableitung $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 12$ .

$f' (- 12) = {(- 12)}^{3} - 9 {(- 12)}^{2} - 81 \cdot - 12 + 729$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.2.1.1

Potenziere $- 12$ mit $3$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 9 {(- 12)}^{2} - 81 \cdot - 12 + 729$

Schritt 10.2.2.1.2

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 9 \cdot 144 - 81 \cdot - 12 + 729$

Schritt 10.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $144$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 1296 - 81 \cdot - 12 + 729$

Schritt 10.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 81$ mit $- 12$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 1296 + 972 + 729$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 10.2.2.2.1

Subtrahiere $1296$ von $- 1728$ .

$f' (- 12) = - 3024 + 972 + 729$

Schritt 10.2.2.2.2

Addiere $- 3024$ und $972$ .

$f' (- 12) = - 2052 + 729$

Schritt 10.2.2.2.3

Addiere $- 2052$ und $729$ .

$f' (- 12) = - 1323$

Schritt 10.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1323$ .

$- 1323$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- 9, 9)$ in die erste Ableitung $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 81 \cdot 0 + 729$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 0 - 9 {(0)}^{2} - 81 \cdot 0 + 729$

Schritt 10.3.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 0 - 9 \cdot 0 - 81 \cdot 0 + 729$

Schritt 10.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 81 \cdot 0 + 729$

Schritt 10.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 81$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 + 729$

Schritt 10.3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 10.3.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 729$

Schritt 10.3.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 + 729$

Schritt 10.3.2.2.3

Addiere $0$ und $729$ .

$f' (0) = 729$

Schritt 10.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $729$ .

$729$

Schritt 10.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $12$ , aus dem Intervall $(9, \infty)$ in die erste Ableitung $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $12$ .

$f' (12) = {(12)}^{3} - 9 {(12)}^{2} - 81 \cdot 12 + 729$

Schritt 10.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.2.1.1

Potenziere $12$ mit $3$ .

$f' (12) = 1728 - 9 {(12)}^{2} - 81 \cdot 12 + 729$

Schritt 10.4.2.1.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$f' (12) = 1728 - 9 \cdot 144 - 81 \cdot 12 + 729$

Schritt 10.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $144$ .

$f' (12) = 1728 - 1296 - 81 \cdot 12 + 729$

Schritt 10.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 81$ mit $12$ .

$f' (12) = 1728 - 1296 - 972 + 729$

Schritt 10.4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 10.4.2.2.1

Subtrahiere $1296$ von $1728$ .

$f' (12) = 432 - 972 + 729$

Schritt 10.4.2.2.2

Subtrahiere $972$ von $432$ .

$f' (12) = - 540 + 729$

Schritt 10.4.2.2.3

Addiere $- 540$ und $729$ .

$f' (12) = 189$

Schritt 10.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $189$ .

$189$

Schritt 10.5

Da die erste Ableitung um $x = - 9$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - 9$ ein lokales Minimum.

$x = - 9$ ist ein lokales Minimum

Schritt 10.6

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 9$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 10.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{3} - \frac{81}{2} x^{2} + 729 x$ .

$x = - 9$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11