Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{4}$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 1.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.5.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 1.5.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 1.6.2.2

Stelle die Faktoren in $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ um.

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

Schritt 1.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 1.6.4

Faktorisiere $4 e^{x} x^{3}$ aus $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.6.4.1

Faktorisiere $4 e^{x} x^{3}$ aus $4 e^{x} x^{4}$ heraus.

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 1.6.4.2

Faktorisiere $4 e^{x} x^{3}$ aus $- 16 e^{x} x^{3}$ heraus.

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

Schritt 1.6.4.3

Faktorisiere $4 e^{x} x^{3}$ aus $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ heraus.

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

Schritt 1.6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{8}$ .

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Schritt 1.6.5.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ heraus.

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

Schritt 1.6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.5.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{8}$ heraus.

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Schritt 1.6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Schritt 1.6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}})$

Schritt 2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}})$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{5 \cdot 2}})$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Schritt 2.5.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.7.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) (5 x^{4})}{x^{10}})$

Schritt 2.7.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.7.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

Schritt 2.7.2.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ heraus.

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Schritt 2.7.2.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x})$ heraus.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

Schritt 2.7.2.2.2

Faktorisiere $x^{4}$ aus $- 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

Schritt 2.7.2.2.3

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))$ heraus.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

Schritt 2.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $x^{10}$ heraus.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

Schritt 2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

Schritt 2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $4$ und $\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + x e^{x} - 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Schritt 2.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Schritt 2.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} x - 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Schritt 2.10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x}) + 4 (x (x e^{x})) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Schritt 2.10.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.10.5.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.10.5.1.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x \cdot x e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Schritt 2.10.5.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x^{2} e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Schritt 2.10.5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 4 (- 4 x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Schritt 2.10.5.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 (x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Schritt 2.10.5.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 (e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Schritt 2.10.5.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 4 (20 e^{x})}{x^{6}}$

Schritt 2.10.5.1.6

Mutltipliziere $20$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Schritt 2.10.5.2

Subtrahiere $16 x e^{x}$ von $4 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Schritt 2.10.5.3

Subtrahiere $20 e^{x} x$ von $- 12 x e^{x}$ .

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Schritt 2.10.5.3.1

Bewege $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} - 20 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Schritt 2.10.5.3.2

Subtrahiere $20 x e^{x}$ von $- 12 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 32 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Schritt 2.10.6

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Schritt 2.10.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.7.1

Faktorisiere $4 e^{x}$ aus $- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}$ heraus.

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Schritt 2.10.7.1.1

Faktorisiere $4 e^{x}$ aus $- 32 e^{x} x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Schritt 2.10.7.1.2

Faktorisiere $4 e^{x}$ aus $4 e^{x} x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Schritt 2.10.7.1.3

Faktorisiere $4 e^{x}$ aus $80 e^{x}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

Schritt 2.10.7.1.4

Faktorisiere $4 e^{x}$ aus $4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

Schritt 2.10.7.1.5

Faktorisiere $4 e^{x}$ aus $4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2} + 20)}{x^{6}}$

Schritt 2.10.7.2

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (x^{2} - 8 x + 20)}{x^{6}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{x^{4}})$

Schritt 4.1.2

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}})$

Schritt 4.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}})$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Schritt 4.1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}})$

Schritt 4.1.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.5.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}})$

Schritt 4.1.5.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 4.1.6

Vereinfache.

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Schritt 4.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 4.1.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.6.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 4.1.6.2.2

Stelle die Faktoren in $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ um.

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

Schritt 4.1.6.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 4.1.6.4

Faktorisiere $4 e^{x} x^{3}$ aus $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ heraus.

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Schritt 4.1.6.4.1

Faktorisiere $4 e^{x} x^{3}$ aus $4 e^{x} x^{4}$ heraus.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 4.1.6.4.2

Faktorisiere $4 e^{x} x^{3}$ aus $- 16 e^{x} x^{3}$ heraus.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

Schritt 4.1.6.4.3

Faktorisiere $4 e^{x} x^{3}$ aus $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ heraus.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

Schritt 4.1.6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{8}$ .

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Schritt 4.1.6.5.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ heraus.

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

Schritt 4.1.6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.6.5.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{8}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Schritt 4.1.6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Schritt 4.1.6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ .

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 e^{x} (x - 4) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 5.3.2

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 5.3.2.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 5.3.2.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 5.3.2.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5.3.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 5.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 e^{x} (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 4$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{5} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\sqrt[5]{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 4$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{{(4)}^{6}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und ${(4)}^{6}$ .

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)$ heraus.

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{{(4)}^{6}}$

Schritt 9.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus ${(4)}^{6}$ heraus.

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

Schritt 9.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

Schritt 9.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{e^{4} (16 - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$\frac{e^{4} (16 - 32 + 20)}{4^{5}}$

Schritt 9.2.3

Subtrahiere $32$ von $16$ .

$\frac{e^{4} (- 16 + 20)}{4^{5}}$

Schritt 9.2.4

Addiere $- 16$ und $20$ .

$\frac{e^{4} \cdot 4}{4^{5}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1

Potenziere $4$ mit $5$ .

$\frac{e^{4} \cdot 4}{1024}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $1024$ .

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $e^{4} \cdot 4$ heraus.

$\frac{4 \cdot e^{4}}{1024}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $1024$ heraus.

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{4}}{256}$

Schritt 10

$x = 4$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 4$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 4$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{{(4)}^{4}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und ${(4)}^{4}$ .

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Schritt 11.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 e^{4}$ heraus.

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{{(4)}^{4}}$

Schritt 11.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus ${(4)}^{4}$ heraus.

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{4 \cdot 4^{3}}$

Schritt 11.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{4 \cdot 4^{3}}$

Schritt 11.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (4) = \frac{e^{4}}{4^{3}}$

Schritt 11.2.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f (4) = \frac{e^{4}}{64}$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{e^{4}}{64}$ .

$y = \frac{e^{4}}{64}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ .

$(4, \frac{e^{4}}{64})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13