Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Schritt 1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3 \cdot - 1}$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{- 3}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$f'' (x) = - 2 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 6 x^{- 4}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{x^{4}})$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{4}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6