Analysis Beispiele

$y = x^{- 7} + x^{7}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{- 7} + x^{7}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 7$ .

$- 7 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$- 7 x^{- 8} + 7 x^{6}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{- 7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Schritt 1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Schritt 1.4.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{6}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$42 x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{7}{x^{8}}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{8}}$ als ${(x^{8})}^{- 1}$ um.

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{8})}^{- 1}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{8}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} (8 x^{7}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{8})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{8 \cdot - 2} (8 x^{7}))$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{- 16} (8 x^{7}))$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 16} x^{7})$

Schritt 2.3.7

Multipliziere $x^{- 16}$ mit $x^{7}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Bewege $x^{7}$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 (x^{7} x^{- 16}))$

Schritt 2.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{7 - 16})$

Schritt 2.3.7.3

Subtrahiere $16$ von $7$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 9})$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 7$ .

$42 x^{5} + 56 x^{- 9}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$42 x^{5} + 56 \frac{1}{x^{9}}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $56$ und $\frac{1}{x^{9}}$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $42$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $42 x^{5}$ nach $x$ gleich $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $42$ .

$210 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $56$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{56}{x^{9}}$ nach $x$ gleich $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{9}}$ als ${(x^{9})}^{- 1}$ um.

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [{(x^{9})}^{- 1}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{9}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} (9 x^{8}))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{9})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{9 \cdot - 2} (9 x^{8}))$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 2$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{- 18} (9 x^{8}))$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 18} x^{8})$

Schritt 3.3.7

Multipliziere $x^{- 18}$ mit $x^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.7.1

Bewege $x^{8}$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 (x^{8} x^{- 18}))$

Schritt 3.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{8 - 18})$

Schritt 3.3.7.3

Subtrahiere $18$ von $8$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 10})$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 9$ mit $56$ .

$210 x^{4} - 504 x^{- 10}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$210 x^{4} - 504 \frac{1}{x^{10}}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 504$ und $\frac{1}{x^{10}}$ .

$210 x^{4} + \frac{- 504}{x^{10}}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = 210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Da $210$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $210 x^{4}$ nach $x$ gleich $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Schritt 4.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $210$ .

$840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Schritt 4.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $- 504$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{504}{x^{10}}$ nach $x$ gleich $- 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$

Schritt 4.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{10}}$ als ${(x^{10})}^{- 1}$ um.

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [{(x^{10})}^{- 1}]$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{10}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Schritt 4.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Schritt 4.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 10$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} (10 x^{9}))$

Schritt 4.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{10})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{10 \cdot - 2} (10 x^{9}))$

Schritt 4.3.5.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 2$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{- 20} (10 x^{9}))$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 20} x^{9})$

Schritt 4.3.7

Multipliziere $x^{- 20}$ mit $x^{9}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.7.1

Bewege $x^{9}$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 (x^{9} x^{- 20}))$

Schritt 4.3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{9 - 20})$

Schritt 4.3.7.3

Subtrahiere $20$ von $9$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 11})$

Schritt 4.3.8

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 504$ .

$840 x^{3} + 5040 x^{- 11}$

Schritt 4.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$840 x^{3} + 5040 \frac{1}{x^{11}}$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $5040$ und $\frac{1}{x^{11}}$ .

$f^{4} (x) = 840 x^{3} + \frac{5040}{x^{11}}$