Analysis Beispiele

$3 x^{4} - 96 x + 7$

Schritt 1

Schreibe $3 x^{4} - 96 x + 7$ als Funktion.

$f (x) = 3 x^{4} - 96 x + 7$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 96 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 96$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 96 x$ nach $x$ gleich $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x^{3} - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 96$ mit $1$ .

$12 x^{3} - 96 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x^{3} - 96 + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $12 x^{3} - 96$ und $0$ .

$12 x^{3} - 96$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} - 96$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96)$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $- 96$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 96$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $36 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$12 x^{3} - 96 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{4} - 96 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{4}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 96$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 96 x$ nach $x$ gleich $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 x^{3} - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $- 96$ mit $1$ .

$12 x^{3} - 96 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 x^{3} - 96 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $12 x^{3} - 96$ und $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 96$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{3} - 96$ .

$12 x^{3} - 96$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{3} - 96 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{3} - 96 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $96$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{3} = 96$

Schritt 6.3

Subtrahiere $96$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x^{3} - 96 = 0$

Schritt 6.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{3} - 96$ heraus.

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Schritt 6.4.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{3}$ heraus.

$12 (x^{3}) - 96 = 0$

Schritt 6.4.1.2

Faktorisiere $12$ aus $- 96$ heraus.

$12 x^{3} + 12 \cdot - 8 = 0$

Schritt 6.4.1.3

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{3} + 12 \cdot - 8$ heraus.

$12 (x^{3} - 8) = 0$

Schritt 6.4.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$12 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Schritt 6.4.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Schritt 6.4.4

Faktorisiere.

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Schritt 6.4.4.1

Vereinfache.

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Schritt 6.4.4.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Schritt 6.4.4.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Schritt 6.4.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$12 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Schritt 6.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 6.6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 6.7

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.1

Setze $x^{2} + 2 x + 4$ gleich $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 6.7.2

Löse $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 6.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.3.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.3.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.3.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.3.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.3.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.7.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 6.7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.2.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 6.7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.4.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.4.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.4.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.7.2.4.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.4.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.7.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 6.7.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 6.7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.7.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 6.7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.7.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.7.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 6.7.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 6.7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 6.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 2$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$36 {(2)}^{2}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$36 \cdot 4$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $36$ mit $4$ .

$144$

Schritt 11

$x = 2$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 3 {(2)}^{4} - 96 \cdot 2 + 7$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (2) = 3 \cdot 16 - 96 \cdot 2 + 7$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $16$ .

$f (2) = 48 - 96 \cdot 2 + 7$

Schritt 12.2.1.3

Mutltipliziere $- 96$ mit $2$ .

$f (2) = 48 - 192 + 7$

Schritt 12.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 12.2.2.1

Subtrahiere $192$ von $48$ .

$f (2) = - 144 + 7$

Schritt 12.2.2.2

Addiere $- 144$ und $7$ .

$f (2) = - 137$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 137$ .

$y = - 137$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 3 x^{4} - 96 x + 7$ .

$(2, - 137)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14