Analysis Beispiele

$x^{5} - 5 x$

Schritt 1

Schreibe $x^{5} - 5 x$ als Funktion.

$f (x) = x^{5} - 5 x$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 x^{4} - 5 \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$5 x^{4} - 5$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 5)$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $20 x^{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$5 x^{4} - 5 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 x^{4} - 5 \cdot 1$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 5$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $5 x^{4} - 5$ .

$5 x^{4} - 5$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $5 x^{4} - 5 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$5 x^{4} - 5 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{4} = 5$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{4} = 5$ durch $5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{4} = 5$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{5}{5}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4}}{5} = \frac{5}{5}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} = \frac{5}{5}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Dividiere $5$ durch $5$ .

$x^{4} = 1$

Schritt 6.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Schritt 6.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 6.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 6.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 6.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1, - 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(1)}^{3}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$20 \cdot 1$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$20$

Schritt 11

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{5} - 5 \cdot 1$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 5$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$f (1) = - 4$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(- 1)}^{3}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$20 \cdot - 1$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$- 20$

Schritt 15

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 1$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- 1) = - 1 - 5 \cdot - 1$

Schritt 16.2.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 5$

Schritt 16.2.2

Addiere $- 1$ und $5$ .

$f (- 1) = 4$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{5} - 5 x$ .

$(1, - 4)$ ist ein lokales Minimum

$(- 1, 4)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18