Analysis Beispiele

$x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$

Schritt 1

Schreibe $x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$ als Funktion.

$f (x) = x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 11 x^{4}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 x^{4} - 11 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 x^{4} - 11 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 11$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x^{3}$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $14$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ und $0$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 44 x^{3}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 44 x^{3}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 44 x^{3}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 44 x^{3}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 44 x^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 44$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 44 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 44 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 44 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 44 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 44$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $42$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $42 x^{2}$ nach $x$ gleich $42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + 42 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + 42 (2 x)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $42$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + 84 x$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 11 x^{4}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x^{4}$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 x^{4} - 11 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 x^{4} - 11 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 11$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x^{3}$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $14$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$x^{2} (5 x^{2}) - 44 x^{3} + 42 x^{2} = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 44 x^{3}$ heraus.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (- 44 x) + 42 x^{2} = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $42 x^{2}$ heraus.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (- 44 x) + x^{2} \cdot 42 = 0$

Schritt 6.2.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (- 44 x)$ heraus.

$x^{2} (5 x^{2} - 44 x) + x^{2} \cdot 42 = 0$

Schritt 6.2.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (5 x^{2} - 44 x) + x^{2} \cdot 42$ heraus.

$x^{2} (5 x^{2} - 44 x + 42) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 x^{2} - 44 x + 42 = 0$

Schritt 6.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.5

Setze $5 x^{2} - 44 x + 42$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $5 x^{2} - 44 x + 42$ gleich $0$ .

$5 x^{2} - 44 x + 42 = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $5 x^{2} - 44 x + 42 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.5.2.2

Setze die Werte $a = 5$ , $b = - 44$ und $c = 42$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{44 \pm \sqrt{{(- 44)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 42)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.2.3.1.1

Potenziere $- 44$ mit $2$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot 5 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 42$ .

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Schritt 6.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 20 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $42$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 840}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.3.1.3

Subtrahiere $840$ von $1936$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1096}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.3.1.4

Schreibe $1096$ als $2^{2} \cdot 274$ um.

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Schritt 6.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $1096$ heraus.

$x = \frac{44 \pm \sqrt{4 (274)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{44 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 274}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$

Schritt 6.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{274}}{5}$

Schritt 6.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.2.4.1.1

Potenziere $- 44$ mit $2$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot 5 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 42$ .

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Schritt 6.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 20 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $42$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 840}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.4.1.3

Subtrahiere $840$ von $1936$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1096}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.4.1.4

Schreibe $1096$ als $2^{2} \cdot 274$ um.

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Schritt 6.5.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $1096$ heraus.

$x = \frac{44 \pm \sqrt{4 (274)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{44 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 274}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$

Schritt 6.5.2.4.3

Vereinfache $\frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{274}}{5}$

Schritt 6.5.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$

Schritt 6.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.2.5.1.1

Potenziere $- 44$ mit $2$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot 5 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 42$ .

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Schritt 6.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 20 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $42$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 840}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.5.1.3

Subtrahiere $840$ von $1936$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1096}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.5.1.4

Schreibe $1096$ als $2^{2} \cdot 274$ um.

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Schritt 6.5.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $1096$ heraus.

$x = \frac{44 \pm \sqrt{4 (274)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{44 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 274}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$

Schritt 6.5.2.5.3

Vereinfache $\frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{274}}{5}$

Schritt 6.5.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$

Schritt 6.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (5 x^{2} - 44 x + 42) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, \frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$20 {(0)}^{3} - 132 {(0)}^{2} + 84 (0)$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$20 \cdot 0 - 132 {(0)}^{2} + 84 (0)$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $0$ .

$0 - 132 {(0)}^{2} + 84 (0)$

Schritt 10.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 132 \cdot 0 + 84 (0)$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $- 132$ mit $0$ .

$0 + 0 + 84 (0)$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $84$ mit $0$ .

$0 + 0 + 0$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 10.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0$

Schritt 10.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 11

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 11.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{22 - \sqrt{274}}{5}) \cup (\frac{22 - \sqrt{274}}{5}, \frac{22 + \sqrt{274}}{5}) \cup (\frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \infty)$

Schritt 11.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 5 {(- 2)}^{4} - 44 {(- 2)}^{3} + 42 {(- 2)}^{2}$

Schritt 11.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f' (- 2) = 5 \cdot 16 - 44 {(- 2)}^{3} + 42 {(- 2)}^{2}$

Schritt 11.2.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $16$ .

$f' (- 2) = 80 - 44 {(- 2)}^{3} + 42 {(- 2)}^{2}$

Schritt 11.2.2.1.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f' (- 2) = 80 - 44 \cdot - 8 + 42 {(- 2)}^{2}$

Schritt 11.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 44$ mit $- 8$ .

$f' (- 2) = 80 + 352 + 42 {(- 2)}^{2}$

Schritt 11.2.2.1.5

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f' (- 2) = 80 + 352 + 42 \cdot 4$

Schritt 11.2.2.1.6

Mutltipliziere $42$ mit $4$ .

$f' (- 2) = 80 + 352 + 168$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 11.2.2.2.1

Addiere $80$ und $352$ .

$f' (- 2) = 432 + 168$

Schritt 11.2.2.2.2

Addiere $432$ und $168$ .

$f' (- 2) = 600$

Schritt 11.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $600$ .

$600$

Schritt 11.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $1$ , aus dem Intervall $(0, \frac{22 - \sqrt{274}}{5})$ in die erste Ableitung $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} - 44 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2}$

Schritt 11.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 5 \cdot 1 - 44 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2}$

Schritt 11.3.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f' (1) = 5 - 44 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2}$

Schritt 11.3.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 5 - 44 \cdot 1 + 42 {(1)}^{2}$

Schritt 11.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 44$ mit $1$ .

$f' (1) = 5 - 44 + 42 {(1)}^{2}$

Schritt 11.3.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = 5 - 44 + 42 \cdot 1$

Schritt 11.3.2.1.6

Mutltipliziere $42$ mit $1$ .

$f' (1) = 5 - 44 + 42$

Schritt 11.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 11.3.2.2.1

Subtrahiere $44$ von $5$ .

$f' (1) = - 39 + 42$

Schritt 11.3.2.2.2

Addiere $- 39$ und $42$ .

$f' (1) = 3$

Schritt 11.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 11.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(\frac{22 - \sqrt{274}}{5}, \frac{22 + \sqrt{274}}{5})$ in die erste Ableitung $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = 5 {(4)}^{4} - 44 {(4)}^{3} + 42 {(4)}^{2}$

Schritt 11.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.4.2.1.1

Potenziere $4$ mit $4$ .

$f' (4) = 5 \cdot 256 - 44 {(4)}^{3} + 42 {(4)}^{2}$

Schritt 11.4.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $256$ .

$f' (4) = 1280 - 44 {(4)}^{3} + 42 {(4)}^{2}$

Schritt 11.4.2.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f' (4) = 1280 - 44 \cdot 64 + 42 {(4)}^{2}$

Schritt 11.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 44$ mit $64$ .

$f' (4) = 1280 - 2816 + 42 {(4)}^{2}$

Schritt 11.4.2.1.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = 1280 - 2816 + 42 \cdot 16$

Schritt 11.4.2.1.6

Mutltipliziere $42$ mit $16$ .

$f' (4) = 1280 - 2816 + 672$

Schritt 11.4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 11.4.2.2.1

Subtrahiere $2816$ von $1280$ .

$f' (4) = - 1536 + 672$

Schritt 11.4.2.2.2

Addiere $- 1536$ und $672$ .

$f' (4) = - 864$

Schritt 11.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 864$ .

$- 864$

Schritt 11.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $10$ , aus dem Intervall $(\frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \infty)$ in die erste Ableitung $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 11.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f' (10) = 5 {(10)}^{4} - 44 {(10)}^{3} + 42 {(10)}^{2}$

Schritt 11.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.5.2.1.1

Potenziere $10$ mit $4$ .

$f' (10) = 5 \cdot 10000 - 44 {(10)}^{3} + 42 {(10)}^{2}$

Schritt 11.5.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $10000$ .

$f' (10) = 50000 - 44 {(10)}^{3} + 42 {(10)}^{2}$

Schritt 11.5.2.1.3

Potenziere $10$ mit $3$ .

$f' (10) = 50000 - 44 \cdot 1000 + 42 {(10)}^{2}$

Schritt 11.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 44$ mit $1000$ .

$f' (10) = 50000 - 44000 + 42 {(10)}^{2}$

Schritt 11.5.2.1.5

Potenziere $10$ mit $2$ .

$f' (10) = 50000 - 44000 + 42 \cdot 100$

Schritt 11.5.2.1.6

Mutltipliziere $42$ mit $100$ .

$f' (10) = 50000 - 44000 + 4200$

Schritt 11.5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 11.5.2.2.1

Subtrahiere $44000$ von $50000$ .

$f' (10) = 6000 + 4200$

Schritt 11.5.2.2.2

Addiere $6000$ und $4200$ .

$f' (10) = 10200$

Schritt 11.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $10200$ .

$10200$

Schritt 11.6

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 11.7

Da die erste Ableitung um $x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11.8

Da die erste Ableitung um $x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$ .

$x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12