Analysis Beispiele

$4 x - 64 x^{- 3}$

Schritt 1

Schreibe $4 x - 64 x^{- 3}$ als Funktion.

$f (x) = 4 x - 64 x^{- 3}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 64 x^{- 3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 64 x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$4 - 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$4 - 64 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 64$ .

$4 + 192 x^{- 4}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Stelle die Terme um.

$192 x^{- 4} + 4$

Schritt 2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$192 \frac{1}{x^{4}} + 4$

Schritt 2.4.2.2

Kombiniere $192$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{192}{x^{4}} + 4$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{192}{x^{4}} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{192}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $192$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{192}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{4}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{4}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 192 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.7

Multipliziere $x^{- 8}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.7.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.7.3

Subtrahiere $8$ von $3$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $192$ .

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 768 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 768$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 768}{x^{5}} + 0$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}} + 0$

Schritt 3.4.2.3

Addiere $- \frac{768}{x^{5}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{192}{x^{4}} + 4 = 0$

Schritt 5

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 6

Keine lokalen Extrema

Schritt 7