Analysis Beispiele

$C (x) = 375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 1.1.2

Da $375$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $375$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $0.75$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ nach $x$ gleich $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Schritt 1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Schritt 1.2.9

Kombiniere $0.75$ und $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $0.75$ .

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Schritt 1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Addiere $0$ und $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 1.3.2

Faktorisiere $2.25$ aus $2.25$ heraus.

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{\frac{1}{4}}$ heraus.

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

Schritt 1.3.4

Separiere Brüche.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 1.3.5

Dividiere $2.25$ durch $4$ .

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 1.3.6

Kombiniere $0.5625$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Da $0.5625$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ nach $x$ gleich $0.5625 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}]$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ als ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ um.

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1})$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{4} \cdot - 1})$

Schritt 2.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{4}})$

Schritt 2.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{4}})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

Schritt 2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

Schritt 2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

Schritt 2.9

Kombiniere $x^{- \frac{5}{4}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.5625$ .

$C'' (x) = - 0.5625 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Schritt 2.11

Kombiniere $- 0.5625$ und $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$C'' (x) = \frac{- 0.5625 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Bringe $x^{- \frac{5}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C'' (x) = \frac{- 0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 2.12.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$C'' (x) = - \frac{0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 4.1.1.2

Da $375$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $375$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $0.75$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ nach $x$ gleich $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Schritt 4.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 4.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Schritt 4.1.2.6.2

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Schritt 4.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Schritt 4.1.2.9

Kombiniere $0.75$ und $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Schritt 4.1.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $0.75$ .

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Schritt 4.1.2.11

Bringe $x^{- \frac{1}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Addiere $0$ und $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 4.1.3.2

Faktorisiere $2.25$ aus $2.25$ heraus.

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 4.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{\frac{1}{4}}$ heraus.

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

Schritt 4.1.3.4

Separiere Brüche.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 4.1.3.5

Dividiere $2.25$ durch $4$ .

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 4.1.3.6

Kombiniere $0.5625$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$f' (x) = \frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $C (x)$ nach $x$ ist $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$0.5625 = 0$

Schritt 5.3

Da $0.5625 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 6.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x^{1}}}$

Schritt 6.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[4]{x} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{x}}^{4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$x = 0^{4}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.4

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 6.5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{0.5625}{4 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$- \frac{0.5625}{4 {(0^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 9.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

Schritt 9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{5}}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$- \frac{0.5625}{0}$

Schritt 9.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{0.5625}{0}$

Schritt 9.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11