Analysis Beispiele

$\sqrt{9 - x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{9 - x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 - x^{2}}$ als ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 2.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 2.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Schritt 2.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Schritt 2.13.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 2.13.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.11.3

Bringe ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.11.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.13

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.14

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.16

Multipliziere.

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Schritt 3.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 (\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.16.2

Mutltipliziere $\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.17

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.18.1

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.18.2

Kombiniere $\frac{2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x \cdot x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.19

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.20

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.22

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.23

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.24

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.25

Um ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.26

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.27

Multipliziere ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.27.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.27.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.27.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.27.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{(9 - x^{2}) + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.28

Vereinfache ${(9 - x^{2})}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{9 - x^{2} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.29

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{9 + 0}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.30

Addiere $9$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.31

Schreibe $\frac{\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - (\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{9 - x^{2}}) + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.32

Mutltipliziere $\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{9 - x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (9 - x^{2})} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.33

Multipliziere ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $9 - x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.33.1

Mutltipliziere ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $9 - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.33.1.1

Potenziere $9 - x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (9 - x^{2})} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.33.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.33.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.33.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.33.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 3.34

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Schritt 3.35

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.35.1

Mutltipliziere $\frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Schritt 3.35.2

Addiere $- \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 - x^{2}}$ als ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 9 - x^{2}$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 5.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 5.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 5.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 5.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 5.1.7.3

Bringe ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

Schritt 5.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 5.1.9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 5.1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 5.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Schritt 5.1.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Schritt 5.1.13.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 5.1.13.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.13.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- x)}{2 ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 5.1.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 7.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{x}{\sqrt{{(9 - x^{2})}^{1}}}$

Schritt 7.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{9 - x^{2}} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{9 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 - x^{2}}$ als ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(9 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$9 - x^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$9 - x^{2} = 0$

Schritt 7.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.3.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 9$

Schritt 7.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 9$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 7.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 7.3.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 7.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Schritt 7.3.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 7.3.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 7.3.3.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 7.3.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 7.3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 7.3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 7.3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 7.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{9 - x^{2}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$9 - x^{2} < 0$

Schritt 7.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} < - 9$

Schritt 7.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} < - 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.5.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} < - 9$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 7.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 7.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} > \frac{- 9}{- 1}$

Schritt 7.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.5.2.3.1

Dividiere $- 9$ durch $- 1$ .

$x^{2} > 9$

Schritt 7.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{9}$

Schritt 7.5.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 7.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{9}$

Schritt 7.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{9}$ .

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Schritt 7.5.4.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$| x | > \sqrt{3^{2}}$

Schritt 7.5.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > | 3 |$

Schritt 7.5.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$| x | > 3$

Schritt 7.5.5

Schreibe $| x | > 3$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 7.5.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 7.5.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > 3$

Schritt 7.5.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 7.5.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > 3$

Schritt 7.5.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > 3 & x \geq 0 \\ - x > 3 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 7.5.6

Bestimme die Schnittmenge von $x > 3$ und $x \geq 0$ .

$x > 3$

Schritt 7.5.7

Teile jeden Ausdruck in $- x > 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.5.7.1

Teile jeden Term in $- x > 3$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{3}{- 1}$

Schritt 7.5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{3}{- 1}$

Schritt 7.5.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{3}{- 1}$

Schritt 7.5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.7.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x < - 3$

Schritt 7.5.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 3$ oder $x > 3$

Schritt 7.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - 3, x \geq 3$

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

$x \leq - 3, x \geq 3$

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 3, 3$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{9}{{(9 - {(0)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{9}{{(9 - 0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$- \frac{9}{{(9 + 0)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.2

Addiere $9$ und $0$ .

$- \frac{9}{9^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$- \frac{9}{{(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 10.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{9}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 10.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{9}{3^{3}}$

Schritt 10.1.6

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{9}{27}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $27$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$- \frac{9 (1)}{27}$

Schritt 10.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Schritt 10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

Schritt 10.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{3}$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sqrt{9 - {(0)}^{2}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \sqrt{9 - 0}$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \sqrt{9 + 0}$

Schritt 12.2.3

Addiere $9$ und $0$ .

$f (0) = \sqrt{9}$

Schritt 12.2.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (0) = \sqrt{3^{2}}$

Schritt 12.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = 3$

Schritt 12.2.6

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$y = 3$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 3$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{9}{{(9 - {(- 3)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- \frac{9}{{(9 - 1 \cdot 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- \frac{9}{{(9 - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$- \frac{9}{0^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \frac{9}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 14.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 14.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{9}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 14.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{9}{0^{3}}$

Schritt 14.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{9}{0}$

Schritt 14.2.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{9}{0}$

Schritt 14.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 15

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 16