Analysis Beispiele

$\sin^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin^{2} (x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Stelle die Faktoren von $2 \sin (x) \cos (x)$ um.

$2 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2.3.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Schritt 2.3.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Schritt 2.3.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$\sin (2 x)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2$

Schritt 3.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\sin (2 x) = 0$

Schritt 5

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$2 x = \arcsin (0)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$2 x = 0$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 8

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$2 x = π - 0$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$2 x = π + 0$

Schritt 9.1.2

Addiere $π$ und $0$ .

$2 x = π$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 10

Die Lösung der Gleichung $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \cos (2 (0))$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$2 \cos (0)$

Schritt 12.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 13

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 14.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \sin^{2} (0)$

Schritt 14.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (0) = 0^{2}$

Schritt 14.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 14.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 15

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 16.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cos (2 \frac{π}{2})$

Schritt 16.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 \cos (π)$

Schritt 16.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$2 (- \cos (0))$

Schritt 16.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 16.4

Multipliziere $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 16.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 \cdot - 1$

Schritt 16.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2$

Schritt 17

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 18.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Schritt 18.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.2.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1^{2}$

Schritt 18.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Schritt 18.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 19

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{π}{2}, 1)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20