Analysis Beispiele

$\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ als ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 4 x + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4 x + 8$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 2.13

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + 0)$

Schritt 2.14

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$

Schritt 2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.15.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$ um.

$(2 x + 4) \frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.2

Mutltipliziere $2 x + 4$ mit $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.4

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (2)$ heraus.

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.15.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (x + 2)}{2 ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.15.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x + 2$ und $g (x) = {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.4.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.4.4.2

Mutltipliziere ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2} + 4 x + 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2} + 4 x + 8$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.10.3

Bringe ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4 x + 8))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.13

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.15

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 + \frac{d}{d x} (8)))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.16

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4 + 0))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.17

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18

Vereinfache.

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Schritt 3.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 4))}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.18.2.1

Es sei $u_{2} = {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u_{2}$ für alle ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.18.2.1.1

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.1.2

Potenziere $u_{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{u_{2} u_{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{1 + 1} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{u_{2}}^{2} - {(x + 2)}^{2}}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.1.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = u_{2}$ und $b = x + 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - (x + 2))}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 3.18.2.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - x - 1 \cdot 2)}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(u_{2} + x + 2) (u_{2} - x - 2)}{u_{2}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x + 2) ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x - 2)}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.18.2.3.1

Multipliziere $({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x + 2) ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x - 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x) + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2$ .

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Schritt 3.18.2.3.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (- x)$ und $x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu an.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.2.2

Addiere $- x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ und $x {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + 0 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.2.3

Addiere ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.2.4

Ordne die Faktoren in den Termen ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} \cdot - 2$ und $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu an.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.2.5

Addiere $- 2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ und $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 0 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.2.6

Addiere ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.18.2.3.3.1

Multipliziere ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.18.2.3.3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.3.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.3.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{2}{2}} + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.3.1.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 4 x + 8) + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.3.2

Vereinfache ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 + x (- x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.3.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.18.2.3.3.4.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} + x \cdot - 2 + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.3.5

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 \cdot x + 2 (- x) + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x + 2 \cdot - 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 4 x + 8 - x^{2} - 2 x - 2 x - 4$ .

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Schritt 3.18.2.3.4.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x + 8 + 0 - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.4.2

Addiere $4 x + 8$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 x + 8 - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.5

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x + 8 - 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 8 - 2 x - 4$ .

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Schritt 3.18.2.3.6.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 8 - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.6.2

Addiere $0$ und $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{8 - 4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.2.3.7

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.18.3.1

Schreibe $\frac{\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4 x + 8}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4 x + 8}$

Schritt 3.18.3.2

Mutltipliziere $\frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x^{2} + 4 x + 8}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4 x + 8)}$

Schritt 3.18.3.3

Multipliziere ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} + 4 x + 8$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.18.3.3.1

Mutltipliziere ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{2} + 4 x + 8$ .

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Schritt 3.18.3.3.1.1

Potenziere $x^{2} + 4 x + 8$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4 x + 8)}$

Schritt 3.18.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 3.18.3.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 3.18.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 3.18.3.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ als ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 4 x + 8$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 4 x + 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4 x + 8$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 5.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 5.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 5.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 5.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 5.1.7.3

Bringe ${(x^{2} + 4 x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 8]$

Schritt 5.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 5.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 5.1.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 5.1.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 5.1.12

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 5.1.13

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4 + 0)$

Schritt 5.1.14

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$

Schritt 5.1.15

Vereinfache.

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Schritt 5.1.15.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 4)$ um.

$(2 x + 4) \frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.15.2

Mutltipliziere $2 x + 4$ mit $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.15.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) + 4}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.15.4

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.15.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (2)$ heraus.

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.15.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.15.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (x + 2)}{2 ({(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 5.1.15.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + 2)}{2 {(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.15.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x + 2}{{(x^{2} + 4 x + 8)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x + 2 = 0$

Schritt 6.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 2$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{4}{{({(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{4}{{(4 + 4 (- 2) + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{4}{{(4 - 8 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.2

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$\frac{4}{{(- 4 + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.3

Addiere $- 4$ und $8$ .

$\frac{4}{4^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 10.1.5

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 10.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Schritt 10.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{2^{3}}$

Schritt 10.1.7

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{4}{8}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (1)}{8}$

Schritt 10.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Schritt 10.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2}$

Schritt 11

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 2$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 4 (- 2) + 8}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{4 + 4 (- 2) + 8}$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{4 - 8 + 8}$

Schritt 12.2.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 4 + 8}$

Schritt 12.2.4

Addiere $- 4$ und $8$ .

$f (- 2) = \sqrt{4}$

Schritt 12.2.5

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (- 2) = \sqrt{2^{2}}$

Schritt 12.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- 2) = 2$

Schritt 12.2.7

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 8}$ .

$(- 2, 2)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14