Analysis Beispiele

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Schritt 1

Schreibe $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ als Funktion.

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48 x^{2}$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 64 x$ nach $x$ gleich $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $96$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $96 x$ nach $x$ gleich $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $96$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.5.1

Da $- 64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 64$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $12 x^{2} - 72 x + 96$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $48$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $48 x^{2}$ nach $x$ gleich $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Schritt 5.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

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Schritt 5.1.4.1

Da $- 64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 64 x$ nach $x$ gleich $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $- 64$ mit $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ heraus.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Schritt 6.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 36 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

Schritt 6.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $96 x$ heraus.

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

Schritt 6.2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $- 64$ heraus.

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Schritt 6.2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ heraus.

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Schritt 6.2.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ heraus.

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Schritt 6.2.1.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ heraus.

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 6.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Schritt 6.2.2.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.2.2.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 6.2.2.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 6.2.2.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 6.2.2.3.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 6.2.2.3.5

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Schritt 6.2.2.3.6

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Schritt 6.2.2.3.7

Addiere $- 8$ und $24$ .

$16 - 16$

Schritt 6.2.2.3.8

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$0$

Schritt 6.2.2.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Schritt 6.2.2.5

Dividiere $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ durch $x - 1$ .

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Schritt 6.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Schritt 6.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Schritt 6.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 6.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 8 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Schritt 6.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Schritt 6.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Schritt 6.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Schritt 6.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Schritt 6.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Schritt 6.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Schritt 6.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 x - 16$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Schritt 6.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Schritt 6.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 6.2.2.6

Schreibe $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ als eine Menge von Faktoren.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.2.3.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Schritt 6.2.3.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 6.2.3.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Schritt 6.2.3.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Schritt 6.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 6.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 6.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6.5

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 6.5.2

Löse ${(x - 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 6.5.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 1, 4$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1, 4$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(1)}^{2} - 72 \cdot 1 + 96$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$12 \cdot 1 - 72 \cdot 1 + 96$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 - 72 \cdot 1 + 96$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $- 72$ mit $1$ .

$12 - 72 + 96$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $72$ von $12$ .

$- 60 + 96$

Schritt 10.2.2

Addiere $- 60$ und $96$ .

$36$

Schritt 11

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Schritt 12.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 12 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Schritt 12.2.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Schritt 12.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 12 + 48 \cdot 1 - 64 \cdot 1$

Schritt 12.2.1.5

Mutltipliziere $48$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64 \cdot 1$

Schritt 12.2.1.6

Mutltipliziere $- 64$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64$

Schritt 12.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 12.2.2.1

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$f (1) = - 11 + 48 - 64$

Schritt 12.2.2.2

Addiere $- 11$ und $48$ .

$f (1) = 37 - 64$

Schritt 12.2.2.3

Subtrahiere $64$ von $37$ .

$f (1) = - 27$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 27$ .

$y = - 27$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$12 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 96$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$12 \cdot 16 - 72 \cdot 4 + 96$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $12$ mit $16$ .

$192 - 72 \cdot 4 + 96$

Schritt 14.1.3

Mutltipliziere $- 72$ mit $4$ .

$192 - 288 + 96$

Schritt 14.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 14.2.1

Subtrahiere $288$ von $192$ .

$- 96 + 96$

Schritt 14.2.2

Addiere $- 96$ und $96$ .

$0$

Schritt 15

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 15.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 15.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die erste Ableitung $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Schritt 15.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Schritt 15.2.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Schritt 15.2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

Schritt 15.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 36$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

Schritt 15.2.2.1.5

Mutltipliziere $96$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

Schritt 15.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 15.2.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

Schritt 15.2.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f' (0) = 0 - 64$

Schritt 15.2.2.2.3

Subtrahiere $64$ von $0$ .

$f' (0) = - 64$

Schritt 15.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 64$ .

$- 64$

Schritt 15.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(1, 4)$ in die erste Ableitung $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Schritt 15.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.3.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Schritt 15.3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$f' (2) = 32 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Schritt 15.3.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = 32 - 36 \cdot 4 + 96 (2) - 64$

Schritt 15.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 36$ mit $4$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 96 (2) - 64$

Schritt 15.3.2.1.5

Mutltipliziere $96$ mit $2$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 192 - 64$

Schritt 15.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 15.3.2.2.1

Subtrahiere $144$ von $32$ .

$f' (2) = - 112 + 192 - 64$

Schritt 15.3.2.2.2

Addiere $- 112$ und $192$ .

$f' (2) = 80 - 64$

Schritt 15.3.2.2.3

Subtrahiere $64$ von $80$ .

$f' (2) = 16$

Schritt 15.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $16$ .

$16$

Schritt 15.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die erste Ableitung $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Schritt 15.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.4.2.1.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Schritt 15.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $216$ .

$f' (6) = 864 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Schritt 15.4.2.1.3

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f' (6) = 864 - 36 \cdot 36 + 96 (6) - 64$

Schritt 15.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 36$ mit $36$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 96 (6) - 64$

Schritt 15.4.2.1.5

Mutltipliziere $96$ mit $6$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 576 - 64$

Schritt 15.4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.4.2.2.1

Subtrahiere $1296$ von $864$ .

$f' (6) = - 432 + 576 - 64$

Schritt 15.4.2.2.2

Addiere $- 432$ und $576$ .

$f' (6) = 144 - 64$

Schritt 15.4.2.2.3

Subtrahiere $64$ von $144$ .

$f' (6) = 80$

Schritt 15.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $80$ .

$80$

Schritt 15.5

Da die erste Ableitung um $x = 1$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 1$ ein lokales Minimum.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15.6

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 4$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 15.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ .

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16