Analysis Beispiele

$(x^{2} - 2 x) e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $(x^{2} - 2 x) e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 2 x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 2.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \cdot 1)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2$

Schritt 2.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.3.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x}$

Schritt 2.4.3.2

Addiere $- 2 x e^{x}$ und $e^{x} (2 x)$ .

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Schritt 2.4.3.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Schritt 2.4.3.2.2

Addiere $- 2 x e^{x}$ und $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x}$

Schritt 2.4.3.3

Addiere $x^{2} e^{x}$ und $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Schritt 2.4.4

Stelle die Terme um.

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$

Schritt 2.4.5

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$ um.

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Schritt 3.2.1

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 e^{x}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} e^{x}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 e^{x}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 e^{x}$

Schritt 3.4.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 e^{x}$ um.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

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Schritt 5.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Schritt 5.1.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \cdot 1)$

Schritt 5.1.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Schritt 5.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2$

Schritt 5.1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.4.3.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x}$

Schritt 5.1.4.3.2

Addiere $- 2 x e^{x}$ und $e^{x} (2 x)$ .

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Schritt 5.1.4.3.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Schritt 5.1.4.3.2.2

Addiere $- 2 x e^{x}$ und $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x}$

Schritt 5.1.4.3.3

Addiere $x^{2} e^{x}$ und $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Schritt 5.1.4.4

Stelle die Terme um.

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$

Schritt 5.1.4.5

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$ um.

$f' (x) = x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x} = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 2 e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 2 = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 2$ heraus.

$e^{x} (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 6.4

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 6.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 6.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 6.5

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 6.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 6.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 6.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 6.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 6.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x^{2} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

${(\sqrt{2})}^{2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 10.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Schritt 10.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Schritt 10.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Schritt 10.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{2}} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Schritt 10.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Schritt 10.1.5

Berechne den Exponenten.

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $2 e^{\sqrt{2}}$ von $2 e^{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} + 0$

Schritt 10.2.2

Addiere $2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ und $0$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Schritt 11

$x = \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \sqrt{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \sqrt{2}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = ({(\sqrt{2})}^{2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 12.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{2}) = ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Schritt 12.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Schritt 12.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Schritt 12.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Schritt 12.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{2}) = (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Schritt 12.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt{2}) = (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Schritt 12.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\sqrt{2}) = 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ .

$y = 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \sqrt{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

${(- \sqrt{2})}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 14.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 14.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 14.1.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 14.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 14.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 14.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 14.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{2}} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 14.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 14.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$2 e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 14.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 e^{- \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 14.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 14.2.1

Subtrahiere $2 e^{- \sqrt{2}}$ von $2 e^{- \sqrt{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} + 0$

Schritt 14.2.2

Addiere $- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ und $0$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 15

$x = - \sqrt{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \sqrt{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \sqrt{2}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = ({(- \sqrt{2})}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$f (- \sqrt{2}) = ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 16.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = (1 {\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 16.2.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = ({\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 16.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 16.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{2}) = ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 16.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 16.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 16.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 16.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{2}) = (2 - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 16.2.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \sqrt{2}) = (2 - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 16.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- \sqrt{2}) = (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 16.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \sqrt{2}) = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ .

$y = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ .

$(\sqrt{2}, 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}})$ ist ein lokales Minimum

$(- \sqrt{2}, 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18