Analysis Beispiele

$2 y^{3} + y^{2} - y^{5} = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$

Schritt 1

Set each solution of $2 y^{3} + y^{2} - y^{5}$ as a function of $x$ .

$y = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} \to f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$

Schritt 2

Because the $y$ variable in the equation $2 y^{3} + y^{2} - y^{5} = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (2 y^{3} + y^{2} - y^{5}) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 2 x^{3} + x^{2})$

Schritt 2.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y^{3} + y^{2} - y^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Schritt 2.2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Schritt 2.2.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Schritt 2.2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$6 y^{2} y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Schritt 2.2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 y^{2} y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Schritt 2.2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$6 y^{2} y' + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Schritt 2.2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 y^{2} y' + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- y^{5}]$

Schritt 2.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{5}]$ .

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Schritt 2.2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$6 y^{2} y' + 2 y y' - \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{5}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $y$ .

$6 y^{2} y' + 2 y y' - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ gleich $n {u_{3}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$6 y^{2} y' + 2 y y' - (5 {u_{3}}^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.4.2.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $y$ .

$6 y^{2} y' + 2 y y' - (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 y^{2} y' + 2 y y' - (5 y^{4} y')$

Schritt 2.2.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$6 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y^{4} y'$

Schritt 2.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Differenziere.

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Schritt 2.3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

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Schritt 2.3.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$6 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y^{4} y' = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Schritt 2.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $y y'$ aus $6 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y^{4} y'$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $y y'$ aus $6 y^{2} y'$ heraus.

$y y' (6 y) + 2 y y' - 5 y^{4} y' = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Schritt 2.5.1.2

Faktorisiere $y y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y y' (6 y) + y y' \cdot 2 - 5 y^{4} y' = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere $y y'$ aus $- 5 y^{4} y'$ heraus.

$y y' (6 y) + y y' \cdot 2 + y y' (- 5 y^{3}) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Schritt 2.5.1.4

Faktorisiere $y y'$ aus $y y' (6 y) + y y' \cdot 2$ heraus.

$y y' (6 y + 2) + y y' (- 5 y^{3}) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Schritt 2.5.1.5

Faktorisiere $y y'$ aus $y y' (6 y + 2) + y y' (- 5 y^{3})$ heraus.

$y y' (6 y + 2 - 5 y^{3}) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Schritt 2.5.2

Stelle die Terme um.

$y y' (- 5 y^{3} + 6 y + 2) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$

Schritt 2.5.3

Teile jeden Ausdruck in $y y' (- 5 y^{3} + 6 y + 2) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$ durch $y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' (- 5 y^{3} + 6 y + 2) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x$ durch $y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)$ .

$\frac{y y' (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} = \frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{- 6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$

Schritt 2.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} = \frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{- 6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$

Schritt 2.5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = \frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{- 6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$

Schritt 2.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5 y^{3} + 6 y + 2$ .

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Schritt 2.5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = \frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{- 6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$

Schritt 2.5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{- 6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$

Schritt 2.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$

Schritt 2.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} = 0$ .

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y (- 5 y^{3} + 6 y + 2), y (- 5 y^{3} + 6 y + 2), y (- 5 y^{3} + 6 y + 2), 1$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)$ .

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere.

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Schritt 3.1.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 y^{3} + 6 y + 2$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 y^{3}$ heraus.

$y (- (5 y^{3}) + 6 y + 2)$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $6 y$ heraus.

$y (- (5 y^{3}) - (- 6 y) + 2)$

Schritt 3.1.2.1.1.3

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$y (- (5 y^{3}) - (- 6 y) - 1 (- 2))$

Schritt 3.1.2.1.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 y^{3}) - (- 6 y)$ heraus.

$y (- (5 y^{3} - 6 y) - 1 (- 2))$

Schritt 3.1.2.1.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 y^{3} - 6 y) - 1 (- 2)$ heraus.

$y (- (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.1.2.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$y \cdot - 1 (5 y^{3} - 6 y - 2)$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.1.2.3

Entferne unnötige Klammern.

$- y (5 y^{3} - 6 y - 2)$

Schritt 3.1.3

Since $- y (5 y^{3} - 6 y - 2), - y (5 y^{3} - 6 y - 2), - y (5 y^{3} - 6 y - 2), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Schritte, um das kgV für $- y (5 y^{3} - 6 y - 2), - y (5 y^{3} - 6 y - 2), - y (5 y^{3} - 6 y - 2), 1$ zu finden, sind:

1. Finde das kgV für den numerischen Teil $- 1, - 1, - 1, 1$ .

2. Finde das kgV für den variablen Teil $y^{1}, y^{1}, y^{1}$ .

Finde das kgV für den zusammengesetzten variablen Teil $5 y^{3} - 6 y - 2, 5 y^{3} - 6 y - 2, 5 y^{3} - 6 y - 2$ .

4. Multipliziere jedes kgV miteinander.

Schritt 3.1.4

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.1.5

Da der kgV die kleinste, positive Zahl ist, gilt $kgV (- 1, - 1, - 1, 1) = kgV (1, 1, 1, 1)$

Schritt 3.1.6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.1.7

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 3.1.8

Der Teiler von $y^{1}$ ist $y$ selbst.

$y^{1} = y$

$y$ occurs $1$ time.

Schritt 3.1.9

Das kgV von $y^{1}, y^{1}, y^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$y$

Schritt 3.1.10

Der Teiler von $5 y^{3} - 6 y - 2$ ist $5 y^{3} - 6 y - 2$ selbst.

$(5 y^{3} - 6 y - 2) = 5 y^{3} - 6 y - 2$

$(5 y^{3} - 6 y - 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 3.1.11

Das kgV von $5 y^{3} - 6 y - 2, 5 y^{3} - 6 y - 2, 5 y^{3} - 6 y - 2$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$5 y^{3} - 6 y - 2$

Schritt 3.1.12

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$y (5 y^{3} - 6 y - 2)$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} = 0$ mit $y (5 y^{3} - 6 y - 2)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} = 0$ mit $y (5 y^{3} - 6 y - 2)$ .

$\frac{4 x^{3}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (5 y^{3} - 6 y - 2) - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{4 x^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2}$ mit $5 y^{3} - 6 y - 2$ .

$\frac{4 x^{3} (5 y^{3} - 6 y - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 y^{3} - 6 y - 2$ und $- 5 y^{3} + 6 y + 2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $5 y^{3}$ heraus.

$\frac{4 x^{3} (- (- 5 y^{3}) - 6 y - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 y$ heraus.

$\frac{4 x^{3} (- (- 5 y^{3}) - (6 y) - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 5 y^{3}) - (6 y)$ heraus.

$\frac{4 x^{3} (- (- 5 y^{3} + 6 y) - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.3.4

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{4 x^{3} (- (- 5 y^{3} + 6 y) - 1 (2))}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 5 y^{3} + 6 y) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{4 x^{3} (- (- 5 y^{3} + 6 y + 2))}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.3.6

Schreibe $- (- 5 y^{3} + 6 y + 2)$ als $- 1 (- 5 y^{3} + 6 y + 2)$ um.

$\frac{4 x^{3} (- 1 (- 5 y^{3} + 6 y + 2))}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.2.2.1.3.8

Dividiere $4 x^{3} \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$4 x^{3} \cdot (- 1) - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 x^{3} - \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}$ in den Zähler.

$- 4 x^{3} + \frac{- 6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 x^{3} + \frac{- 6 x^{2}}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 x^{3} + \frac{- 6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (5 y^{3} - 6 y - 2) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 x^{3} - \frac{(6) x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (5 y^{3} - 6 y - 2) + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x^{3} - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (5 y^{3}) - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (- 6 y) - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.8.1

Multipliziere $- \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (5 y^{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.8.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 4 x^{3} - 5 \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} y^{3} - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (- 6 y) - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.8.1.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 5 (6 x^{2})}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} y^{3} - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (- 6 y) - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.8.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $- 5$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} y^{3} - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (- 6 y) - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.8.1.4

Kombiniere $\frac{- 30 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2}$ und $y^{3}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (- 6 y) - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.8.2

Multipliziere $- \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (- 6 y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.8.2.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + 6 \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} y - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.8.2.2

Kombiniere $6$ und $\frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{6 (6 x^{2})}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} y - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.8.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{36 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} y - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.8.2.4

Kombiniere $\frac{36 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2}$ und $y$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{36 x^{2} y}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} - \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2 + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.8.3

Multipliziere $- \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} \cdot - 2$ .

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Schritt 3.2.2.1.8.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{36 x^{2} y}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + 2 \frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.8.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{6 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2}$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{36 x^{2} y}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 (6 x^{2})}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.8.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{36 x^{2} y}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{12 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 x^{3} - \frac{30 x^{2} y^{3}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{36 x^{2} y}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{12 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3} + 36 x^{2} y}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{12 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 x^{3} + \frac{- 30 x^{2} y^{3} + 36 x^{2} y + 12 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.12

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $- 30 x^{2} y^{3} + 36 x^{2} y + 12 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.12.1

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $- 30 x^{2} y^{3}$ heraus.

$- 4 x^{3} + \frac{6 x^{2} (- 5 y^{3}) + 36 x^{2} y + 12 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.12.2

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $36 x^{2} y$ heraus.

$- 4 x^{3} + \frac{6 x^{2} (- 5 y^{3}) + 6 x^{2} (6 y) + 12 x^{2}}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.12.3

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$- 4 x^{3} + \frac{6 x^{2} (- 5 y^{3}) + 6 x^{2} (6 y) + 6 x^{2} (2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.12.4

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $6 x^{2} (- 5 y^{3}) + 6 x^{2} (6 y)$ heraus.

$- 4 x^{3} + \frac{6 x^{2} (- 5 y^{3} + 6 y) + 6 x^{2} (2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.12.5

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $6 x^{2} (- 5 y^{3} + 6 y) + 6 x^{2} (2)$ heraus.

$- 4 x^{3} + \frac{6 x^{2} (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5 y^{3} + 6 y + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 x^{3} + \frac{6 x^{2} (- 5 y^{3} + 6 y + 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.13.2

Dividiere $6 x^{2}$ durch $1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x}{y (- 5 y^{3} + 6 y + 2)} (y (5 y^{3} - 6 y - 2)) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.14.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} (5 y^{3} - 6 y - 2) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.15

Mutltipliziere $\frac{2 x}{- 5 y^{3} + 6 y + 2}$ mit $5 y^{3} - 6 y - 2$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (5 y^{3} - 6 y - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 y^{3} - 6 y - 2$ und $- 5 y^{3} + 6 y + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.16.1

Faktorisiere $- 1$ aus $5 y^{3}$ heraus.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (- (- 5 y^{3}) - 6 y - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.16.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 y$ heraus.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (- (- 5 y^{3}) - (6 y) - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.16.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 5 y^{3}) - (6 y)$ heraus.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (- (- 5 y^{3} + 6 y) - 2)}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.16.4

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (- (- 5 y^{3} + 6 y) - 1 (2))}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.16.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 5 y^{3} + 6 y) - 1 (2)$ heraus.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (- (- 5 y^{3} + 6 y + 2))}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.16.6

Schreibe $- (- 5 y^{3} + 6 y + 2)$ als $- 1 (- 5 y^{3} + 6 y + 2)$ um.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (- 1 (- 5 y^{3} + 6 y + 2))}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.16.7

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{2 x (- 1 (- 5 y^{3} + 6 y + 2))}{- 5 y^{3} + 6 y + 2} = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.16.8

Dividiere $2 x \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} + 2 x \cdot (- 1) = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.2.1.17

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (y (5 y^{3} - 6 y - 2))$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (y (5 y^{3}) + y (- 6 y) + y \cdot - 2)$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y \cdot y^{3} + y (- 6 y) + y \cdot - 2)$

Schritt 3.2.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y \cdot y^{3} - 6 y \cdot y + y \cdot - 2)$

Schritt 3.2.3.2.3

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y \cdot y^{3} - 6 y \cdot y - 2 \cdot y)$

Schritt 3.2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.3.3.1

Multipliziere $y$ mit $y^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.3.1.1

Bewege $y^{3}$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 (y^{3} y) - 6 y \cdot y - 2 \cdot y)$

Schritt 3.2.3.3.1.2

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $y$ .

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Schritt 3.2.3.3.1.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 (y^{3} y^{1}) - 6 y \cdot y - 2 \cdot y)$

Schritt 3.2.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y^{3 + 1} - 6 y \cdot y - 2 \cdot y)$

Schritt 3.2.3.3.1.3

Addiere $3$ und $1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y^{4} - 6 y \cdot y - 2 \cdot y)$

Schritt 3.2.3.3.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.3.2.1

Bewege $y$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y^{4} - 6 (y \cdot y) - 2 \cdot y)$

Schritt 3.2.3.3.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y^{4} - 6 y^{2} - 2 \cdot y)$

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0 (5 y^{4} - 6 y^{2} - 2 y)$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $0$ mit $5 y^{4} - 6 y^{2} - 2 y$ .

$- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 4 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$- 2 x (2 x^{2}) + 6 x^{2} - 2 x = 0$

Schritt 3.3.1.1.2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$- 2 x (2 x^{2}) - 2 x (- 3 x) - 2 x = 0$

Schritt 3.3.1.1.3

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x$ heraus.

$- 2 x (2 x^{2}) - 2 x (- 3 x) - 2 x \cdot 1 = 0$

Schritt 3.3.1.1.4

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x (2 x^{2}) - 2 x (- 3 x)$ heraus.

$- 2 x (2 x^{2} - 3 x) - 2 x \cdot 1 = 0$

Schritt 3.3.1.1.5

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x (2 x^{2} - 3 x) - 2 x (1)$ heraus.

$- 2 x (2 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 3.3.1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$- 2 x (2 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Schritt 3.3.1.2.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $- 1$ plus $- 2$

$- 2 x (2 x^{2} + (- 1 - 2) x + 1) = 0$

Schritt 3.3.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x (2 x^{2} - 1 x - 2 x + 1) = 0$

Schritt 3.3.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 2 x ((2 x^{2} - 1 x) - 2 x + 1) = 0$

Schritt 3.3.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 2 x (x (2 x - 1) - (2 x - 1)) = 0$

Schritt 3.3.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$- 2 x ((2 x - 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 3.3.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 x (2 x - 1) (x - 1) = 0$

Schritt 3.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 3.3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.4

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.4.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 3.3.4.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 3.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.3.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 x (2 x - 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{2}, 1$

Schritt 4

Solve the function $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ at $x = 0$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{3} + {(0)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{3} + {(0)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + {(0)}^{2}$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{2}$

Schritt 4.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ at $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{4} - 2 {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{4}}{2^{4}} - 2 {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{4}} - 2 {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 2 {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 2 \frac{1^{3}}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 2 \frac{1}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.6

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 2 (\frac{1}{8}) + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + 2 (- 1) (\frac{1}{8}) + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 4}) + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 4}) + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - 1 (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.8

Schreibe $- 1 (\frac{1}{4})$ als $- (\frac{1}{4})$ um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.1.9

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Schritt 5.2.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 5.2.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{- 1 + 1}{4}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.2.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + \frac{0}{4}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $0$ durch $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16} + 0$

Schritt 5.2.2.2.3

Addiere $\frac{1}{16}$ und $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{16}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{16}$

Schritt 6

Solve the function $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}$ at $x = 1$ .

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{3} + {(1)}^{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{3} + {(1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 + {(1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f (1) = 1 - 2 + {(1)}^{2}$

Schritt 6.2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 - 2 + 1$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (1) = - 1 + 1$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (1) = 0$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 7

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = \frac{1}{16}, y = 0$

$y = 0, y = \frac{1}{16}, y = 0$

Schritt 8