Analysis Beispiele

$\frac{1}{2} \cdot \ln (x y) + \frac{3}{2} \cdot \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (x y)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(x y)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 1.2

Wende die Produktregel auf $x y$ an.

$\ln (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \ln (\frac{x}{y})$

Schritt 1.3

Vereinfache $\frac{3}{2} \ln (\frac{x}{y})$ , indem du $\frac{3}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + \ln ({(\frac{x}{y})}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{y}$ an.

$\ln (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $y^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\ln (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2

Faktorisiere $y^{\frac{1}{2}}$ aus $y^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\ln (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 3.4

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 4

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}}$ .

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 5

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{3}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (\frac{x^{\frac{1 + 3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 5.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\ln (\frac{x^{\frac{4}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 5.4

Dividiere $4$ durch $2$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (\frac{x^{2}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{x^{2}}{y^{1}})$

Schritt 7

Vereinfache.

$\ln (\frac{x^{2}}{y})$