Analysis Beispiele

$\frac{1}{9} \cdot \ln ({(x + 2)}^{9}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{9} \ln ({(x + 2)}^{9})$ , indem du $\frac{1}{9}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({({(x + 2)}^{9})}^{\frac{1}{9}}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{9})}^{\frac{1}{9}}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(x + 2)}^{9 (\frac{1}{9})}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln ({(x + 2)}^{9 (\frac{1}{9})}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln ({(x + 2)}^{1}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Schritt 1.3

Vereinfache.

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Schritt 1.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}})$

Schritt 1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x + 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.5.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $2$ und deren Summe $3$ ist.

$1, 2$

Schritt 1.5.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{((x + 1) (x + 2))}^{2}})$

Schritt 1.5.2

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x + 2)$ an.

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})$

Schritt 1.6

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (x + 2) + \ln ({(\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.7

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.7.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$ an.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.7.2

Wende die Produktregel auf ${(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}$ an.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.8.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.8.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.8.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{1} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.8.2

Vereinfache.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 1.8.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.8.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

Schritt 1.8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

Schritt 1.8.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{1}})$

Schritt 1.8.4

Vereinfache.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) (x + 2)})$

Schritt 2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) (x + 2)})$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $(x + 1) (x + 2)$ heraus.

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 2) (x + 1)})$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 2) (x + 1)})$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x + 1})$