Analysis Beispiele

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a x^{2} + b x + c$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x^{2}$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.1.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [b x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $b$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $b x$ nach $x$ gleich $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Schritt 1.1.4

Da $c$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $c$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 a x + b + 0$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Addiere $2 a x + b$ und $0$ .

$2 a x + b$

Schritt 1.1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = b + 2 a x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $b + 2 a x$ .

$b + 2 a x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $b + 2 a x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$b + 2 a x = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 a x = - b$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 a x = - b$ durch $2 a$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 a x = - b$ durch $2 a$ .

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Schritt 2.3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- b}{2 a}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $a x^{2} + b x + c$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{b}{2 a}$ .

$a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{b}{2 a}$ an.

$a ({(- 1)}^{2} {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{b}{2 a}$ an.

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{{(2 a)}^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Schritt 4.1.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $2 a$ an.

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Schritt 4.1.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(- 1)}^{2} a \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Schritt 4.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 4.1.2.1.3.1

Faktorisiere $a$ aus ${(- 1)}^{2} a$ heraus.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Schritt 4.1.2.1.3.2

Faktorisiere $a$ aus $2^{2} a^{2}$ heraus.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Schritt 4.1.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Schritt 4.1.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

${(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Schritt 4.1.2.1.4

Kombiniere ${(- 1)}^{2}$ und $\frac{b^{2}}{2^{2} a}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Schritt 4.1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.5.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Schritt 4.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $1$ .

$\frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Schritt 4.1.2.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Schritt 4.1.2.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{b^{2}}{4 a} - b \frac{b}{2 a} + c$

Schritt 4.1.2.1.8

Multipliziere $- b \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.1.2.1.8.1

Kombiniere $\frac{b}{2 a}$ und $b$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b \cdot b}{2 a} + c$

Schritt 4.1.2.1.8.2

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b}{2 a} + c$

Schritt 4.1.2.1.8.3

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b^{1}}{2 a} + c$

Schritt 4.1.2.1.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1 + 1}}{2 a} + c$

Schritt 4.1.2.1.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} + c$

Schritt 4.1.2.2

Um $- \frac{b^{2}}{2 a}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} \cdot \frac{2}{2} + c$

Schritt 4.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4 a$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{b^{2}}{2 a}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{2 a \cdot 2} + c$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Schritt 4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{b^{2} - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.5.1.1

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} - b^{2} \cdot 2$ heraus.

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Schritt 4.1.2.5.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Schritt 4.1.2.5.1.1.2

Faktorisiere $b^{2}$ aus $- b^{2} \cdot 2$ heraus.

$\frac{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

Schritt 4.1.2.5.1.1.3

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{b^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

Schritt 4.1.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{b^{2} (1 - 2)}{4 a} + c$

Schritt 4.1.2.5.1.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot - 1}{4 a} + c$

Schritt 4.1.2.5.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot b^{2}}{4 a} + c$

Schritt 4.1.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{b^{2}}{4 a} + c$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2}}{4 a} + c)$

Schritt 5