Analysis Beispiele

$\ln (u^{2} + 1) + \ln (\sin (u)) - \frac{1}{2} \cdot \ln (u v)$

Schritt 1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((u^{2} + 1) \sin (u)) - \frac{1}{2} \cdot \ln (u v)$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (u^{2} \sin (u) + 1 \sin (u)) - \frac{1}{2} \cdot \ln (u v)$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\sin (u)$ mit $1$ .

$\ln (u^{2} \sin (u) + \sin (u)) - \frac{1}{2} \cdot \ln (u v)$

Schritt 2.3

Multipliziere $- \frac{1}{2} \ln (u v)$ .

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Schritt 2.3.1

Stelle $\ln (u v)$ und $\frac{1}{2}$ um.

$\ln (u^{2} \sin (u) + \sin (u)) - (\frac{1}{2} \ln (u v))$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (u v)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (u^{2} \sin (u) + \sin (u)) - \ln ({(u v)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.4

Wende die Produktregel auf $u v$ an.

$\ln (u^{2} \sin (u) + \sin (u)) - \ln (u^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{u^{2} \sin (u) + \sin (u)}{u^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4

Faktorisiere $\sin (u)$ aus $u^{2} \sin (u) + \sin (u)$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $\sin (u)$ aus $u^{2} \sin (u)$ heraus.

$\ln (\frac{\sin (u) u^{2} + \sin (u)}{u^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.2

Multipliziere mit $1$ .

$\ln (\frac{\sin (u) u^{2} + \sin (u) \cdot 1}{u^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 4.3

Faktorisiere $\sin (u)$ aus $\sin (u) u^{2} + \sin (u) \cdot 1$ heraus.

$\ln (\frac{\sin (u) (u^{2} + 1)}{u^{\frac{1}{2}} v^{\frac{1}{2}}})$