Analysis Beispiele

$y^{2} = \frac{1}{1 - x^{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 - x^{2}})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{1 - x^{2}}$ als ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3.5

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ mit $1$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Schritt 3.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

Schritt 3.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Schritt 3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Schritt 3.5.1.2

Kombiniere $\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ durch $2 y$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Kombinieren.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (y)}$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2} y}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2} y}$

Schritt 5.3.3.2

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$y' = \frac{x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2} y}$

Schritt 5.3.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$y' = \frac{x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2} y}$

Schritt 5.3.3.4

Wende die Produktregel auf $(1 + x) (1 - x)$ an.

$y' = \frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$

Schritt 5.3.4

Stelle die Faktoren in $\frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$ um.

$y' = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$