Analysis Beispiele

$x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}} = 9$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}}) = \frac{d}{d x} (9)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{6}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Schritt 2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $7$ von $6$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Schritt 2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{8}{5}}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{8}{5}}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{8}{5}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} u^{\frac{8}{5} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1} y'$

Schritt 2.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} y'$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} y'$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8 - 1 \cdot 5}{5}} y'$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8 - 5}{5}} y'$

Schritt 2.3.6.2

Subtrahiere $5$ von $8$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{3}{5}} y'$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $\frac{8}{5}$ und $y^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}}}{5} y'$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $\frac{8 y^{\frac{3}{5}}}{5}$ und $y'$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{6}{7}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

Schritt 3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$ um.

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = - \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{5}{8}$ .

$\frac{5}{8} \cdot \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 5.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache $\frac{5}{8} \cdot \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5}$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Kombinieren.

$\frac{5 (8 y' y^{\frac{3}{5}})}{8 \cdot 5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 5.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (8 y' y^{\frac{3}{5}})}{8 \cdot 5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 5.4.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{8} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 5.4.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{8} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 5.4.1.1.5

Dividiere $y' y^{\frac{3}{5}}$ durch $1$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $\frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ in den Zähler.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{8} \cdot \frac{- 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 (4)} \cdot \frac{- 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Schritt 5.4.2.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Schritt 5.4.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Schritt 5.4.2.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{- 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $\frac{- 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5 \cdot - 3}{4 (7 x^{\frac{1}{7}})}$

Schritt 5.4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{- 15}{4 (7 x^{\frac{1}{7}})}$

Schritt 5.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{- 15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$

Schritt 5.4.2.1.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ durch $y^{\frac{3}{5}}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ durch $y^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{y' y^{\frac{3}{5}}}{y^{\frac{3}{5}}} = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' y^{\frac{3}{5}}}{y^{\frac{3}{5}}} = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 5.5.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{3}{5}}}$

Schritt 5.5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y^{\frac{3}{5}}}$ mit $\frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ .

$y' = - \frac{15}{y^{\frac{3}{5}} (28 x^{\frac{1}{7}})}$

Schritt 5.5.3.3

Bringe $28$ auf die linke Seite von $y^{\frac{3}{5}}$ .

$y' = - \frac{15}{28 y^{\frac{3}{5}} x^{\frac{1}{7}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15}{28 y^{\frac{3}{5}} x^{\frac{1}{7}}}$