Analysis Beispiele

$\log_{a} (\sqrt[4]{\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}}})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}}}$ als ${(\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\log_{a} ({(\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})}^{\frac{1}{4}})$

Schritt 2

Zerlege $\log_{a} ({(\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})}^{\frac{1}{4}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{4}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{4} \log_{a} (\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})$

Schritt 3

Schreibe $\log_{a} (\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})$ als $\log_{a} (m^{8} n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5})$ um.

$\frac{1}{4} (\log_{a} (m^{8} n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Schritt 4

Schreibe $\log_{a} (m^{8} n^{12})$ als $\log_{a} (m^{8}) + \log_{a} (n^{12})$ um.

$\frac{1}{4} (\log_{a} (m^{8}) + \log_{a} (n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Schritt 5

Zerlege $\log_{a} (m^{8})$ durch Herausziehen von $8$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + \log_{a} (n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Schritt 6

Zerlege $\log_{a} (n^{12})$ durch Herausziehen von $12$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Schritt 7

Schreibe $\log_{a} (a^{3} b^{5})$ als $\log_{a} (a^{3}) + \log_{a} (b^{5})$ um.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (\log_{a} (a^{3}) + \log_{a} (b^{5})))$

Schritt 8

Zerlege $\log_{a} (a^{3})$ durch Herausziehen von $3$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 \log_{a} (a) + \log_{a} (b^{5})))$

Schritt 9

Zerlege $\log_{a} (b^{5})$ durch Herausziehen von $5$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 \log_{a} (a) + 5 \log_{a} (b)))$

Schritt 10

Die logarithmische Basis $a$ von $a$ ist $1$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 \cdot 1 + 5 \log_{a} (b)))$

Schritt 11

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 + 5 \log_{a} (b)))$

Schritt 12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - 1 \cdot 3 - (5 \log_{a} (b)))$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - 3 - (5 \log_{a} (b)))$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - 3 - 5 \log_{a} (b))$

Schritt 13

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m)) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 \log_{a} (m)$ heraus.

$\frac{1}{4} (4 (2 \log_{a} (m))) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Schritt 14.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} (4 (2 \log_{a} (m))) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Schritt 14.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \log_{a} (m) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12 \log_{a} (n)$ heraus.

$2 \log_{a} (m) + \frac{1}{4} (4 (3 \log_{a} (n))) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Schritt 14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \log_{a} (m) + \frac{1}{4} (4 (3 \log_{a} (n))) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Schritt 14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Schritt 14.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 3$ .

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{- 3}{4} + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Schritt 14.4

Multipliziere $\frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$ .

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Schritt 14.4.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{4}$ .

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{- 3}{4} + \frac{- 5}{4} \log_{a} (b)$

Schritt 14.4.2

Kombiniere $\frac{- 5}{4}$ und $\log_{a} (b)$ .

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{- 3}{4} + \frac{- 5 \log_{a} (b)}{4}$

Schritt 15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) - \frac{3}{4} + \frac{- 5 \log_{a} (b)}{4}$

Schritt 15.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) - \frac{3}{4} - \frac{5 \log_{a} (b)}{4}$