Analysis Beispiele

$15 (\ln (x) - \ln (x + 5)) - \frac{4}{15} \cdot (\ln (x) - \ln (x + 5))$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$15 \ln (\frac{x}{x + 5}) - \frac{4}{15} \cdot (\ln (x) - \ln (x + 5))$

Schritt 1.2

Vereinfache $15 \ln (\frac{x}{x + 5})$ , indem du $15$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(\frac{x}{x + 5})}^{15}) - \frac{4}{15} \cdot (\ln (x) - \ln (x + 5))$

Schritt 1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{x + 5}$ an.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - \frac{4}{15} \cdot (\ln (x) - \ln (x + 5))$

Schritt 1.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - \frac{4}{15} \cdot \ln (\frac{x}{x + 5})$

Schritt 1.5

Multipliziere $- \frac{4}{15} \ln (\frac{x}{x + 5})$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle $\ln (\frac{x}{x + 5})$ und $\frac{4}{15}$ um.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - (\frac{4}{15} \ln (\frac{x}{x + 5}))$

Schritt 1.5.2

Vereinfache $\frac{4}{15} \ln (\frac{x}{x + 5})$ , indem du $\frac{4}{15}$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - \ln ({(\frac{x}{x + 5})}^{\frac{4}{15}})$

Schritt 1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{x + 5}$ an.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}) - \ln (\frac{x^{\frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{4}{15}}})$

Schritt 2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}}}{\frac{x^{\frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{4}{15}}}})$

Schritt 3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15}} \cdot \frac{{(x + 5)}^{\frac{4}{15}}}{x^{\frac{4}{15}}})$

Schritt 4

Kombinieren.

$\ln (\frac{x^{15} {(x + 5)}^{\frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{15} x^{\frac{4}{15}}})$

Schritt 5

Bringe ${(x + 5)}^{\frac{4}{15}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{15} x^{\frac{4}{15}} {(x + 5)}^{- \frac{4}{15}}})$

Schritt 6

Multipliziere ${(x + 5)}^{15}$ mit ${(x + 5)}^{- \frac{4}{15}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege ${(x + 5)}^{- \frac{4}{15}}$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{- \frac{4}{15}} {(x + 5)}^{15} x^{\frac{4}{15}}})$

Schritt 6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{- \frac{4}{15} + 15} x^{\frac{4}{15}}})$

Schritt 6.3

Um $15$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{- \frac{4}{15} + 15 \cdot \frac{15}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

Schritt 6.4

Kombiniere $15$ und $\frac{15}{15}$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{- \frac{4}{15} + \frac{15 \cdot 15}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

Schritt 6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{\frac{- 4 + 15 \cdot 15}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

Schritt 6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1

Mutltipliziere $15$ mit $15$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{\frac{- 4 + 225}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

Schritt 6.6.2

Addiere $- 4$ und $225$ .

$\ln (\frac{x^{15}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}} x^{\frac{4}{15}}})$

Schritt 7

Bringe $x^{\frac{4}{15}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (\frac{x^{15} x^{- \frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

Schritt 8

Multipliziere $x^{15}$ mit $x^{- \frac{4}{15}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (\frac{x^{15 - \frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

Schritt 8.2

Um $15$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{15}{15}$ .

$\ln (\frac{x^{15 \cdot \frac{15}{15} - \frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

Schritt 8.3

Kombiniere $15$ und $\frac{15}{15}$ .

$\ln (\frac{x^{\frac{15 \cdot 15}{15} - \frac{4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

Schritt 8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (\frac{x^{\frac{15 \cdot 15 - 4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

Schritt 8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere $15$ mit $15$ .

$\ln (\frac{x^{\frac{225 - 4}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$

Schritt 8.5.2

Subtrahiere $4$ von $225$ .

$\ln (\frac{x^{\frac{221}{15}}}{{(x + 5)}^{\frac{221}{15}}})$