Analysis Beispiele

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \csc^{2} (\frac{1}{3} x)$

Schritt 1

Die Funktion $f (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (\frac{1}{3} x) d x$

Schritt 3

Sei $u = \frac{1}{3} x$ . Dann ist $d u = \frac{1}{3} d x$ , folglich $3 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = \frac{1}{3} x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $\frac{1}{3} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$

Schritt 3.1.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

Schritt 4.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{3} \int 3 \csc^{2} (u) d u$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \csc^{2} (u) d u$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\int \csc^{2} (u) d u$ mit $1$ .

$\int \csc^{2} (u) d u$

Schritt 7

Da die Ableitung von $- \cot (u)$ gleich $\csc^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (u)$ gleich $- \cot (u)$ .

$- \cot (u) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{3} x$ .

$- \cot (\frac{1}{3} x) + C$

Schritt 9

Die Funktion $f$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f (x) = - \cot (\frac{1}{3} x) + C$