Analysis Beispiele

$f' (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Die Funktion $f (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Schritt 2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$6 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 3.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$6 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$6 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Schreibe $6 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ als $6 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$6 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$12 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 6

Die Funktion $f$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f (x) = 12 x^{\frac{1}{2}} + C$