Analysis Beispiele

$f' (x) = 1 + 3 \sqrt{x}$

Schritt 1

Die Funktion $f (x)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d x + \int 3 \sqrt{x} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$x + C + \int 3 \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$x + C + 3 \int \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x + C + 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x + C + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

$x + 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3}$ .

$x + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x + \frac{6}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 7.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$x + \frac{3 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x + \frac{2}{1} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 7.2.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 8

Die Funktion $f$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f (x) = x + 2 x^{\frac{3}{2}} + C$