Analysis Beispiele

$f'' (t) = \frac{3}{\sqrt{t}}$

Schritt 1

Die Funktion $f' (t)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f'' (t)$ .

$f' (t) = \int f'' (t) d t$

Schritt 2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Schritt 3.2

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 \int {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$3 \int t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Schritt 3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \int t^{- \frac{1}{2}} d t$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{- \frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 t^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Schreibe $3 (2 t^{\frac{1}{2}} + C)$ als $3 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$3 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 t^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 6

Die Funktion $f'$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f' (t) = 6 t^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7

Die Funktion $f (t)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $f' (t)$ .

$f (t) = \int f' (t) d t$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 6 t^{\frac{1}{2}} d t + \int C d t$

Schritt 9

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int C d t$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int C d t$

Schritt 11

Wende die Konstantenregel an.

$6 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + C t + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $t^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + C t + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$4 t^{\frac{3}{2}} + C t + C$

Schritt 13

Die Funktion $f$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$f (t) = 4 t^{\frac{3}{2}} + C t + C$