Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{400 - x^{2}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{400 - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$400 - x^{2} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $400$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 400$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 400$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 400$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 400}{- 1}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 400}{- 1}$

Schritt 2.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 400}{- 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $- 400$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 400$

Schritt 2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{400}$

Schritt 2.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{400}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{400}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Schreibe $400$ als $20^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{20^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 20 |$

Schritt 2.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $20$ ist $20$ .

$| x | \leq 20$

Schritt 2.5

Schreibe $| x | \leq 20$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 20$

Schritt 2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 20$

Schritt 2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 20 & x \geq 0 \\ - x \leq 20 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.6

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 20$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 20$

Schritt 2.7

Löse $- x \leq 20$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 20$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 20$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{20}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{20}{- 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{20}{- 1}$

Schritt 2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.7.1.3.1

Dividiere $20$ durch $- 1$ .

$x \geq - 20$

Schritt 2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 20$ und $x < 0$ .

$- 20 \leq x < 0$

Schritt 2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 20 \leq x \leq 20$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 20, 20]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 20 \leq x \leq 20}$

Schritt 4

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[- 200, 200]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${y | - 200 \leq y \leq 200}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: $[- 20, 20], {x | - 20 \leq x \leq 20}$

Wertebereich: $[- 200, 200], {y | - 200 \leq y \leq 200}$

Schritt 6