Analysis Beispiele

$- 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$

Schritt 1

Schreibe $- 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$ als Funktion.

$f (x) = - 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int - 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - 2 x^{- 3} d x + \int 20 x^{- 5} d x$

Schritt 5

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int x^{- 3} d x + \int 20 x^{- 5} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 20 x^{- 5} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 20 x^{- 5} d x$

Schritt 7.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 20 x^{- 5} d x$

Schritt 8

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $20$ aus dem Integral.

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 \int x^{- 5} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Kombiniere $x^{- 4}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Schritt 10.1.2

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$- \frac{- 1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 20 (- \frac{1}{4 x^{4}}) + C$

Schritt 10.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$\frac{1}{x^{2}} - 20 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Schritt 10.3.5

Kombiniere $- 20$ und $\frac{1}{4 x^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{- 20}{4 x^{4}} + C$

Schritt 10.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $4$ .

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Schritt 10.3.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 20$ heraus.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 \cdot - 5}{4 x^{4}} + C$

Schritt 10.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 \cdot - 5}{4 (x^{4})} + C$

Schritt 10.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{4 \cdot - 5}{4 x^{4}} + C$

Schritt 10.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{4}} + C$

Schritt 10.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x^{4}} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = - 2 x^{- 3} + 20 x^{- 5}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{x^{2}} - \frac{5}{x^{4}} + C$