Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{2} + 4}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 4}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Stelle $x^{2}$ und $4$ um.

$\int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C$

Schritt 6.2

Schreibe $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C$ als $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ um.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Schritt 7

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$