Analysis Beispiele

${(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(x + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ als $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ um.

$\int (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\int x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\int x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.1.4

Multipliziere $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Schritt 4.3.1.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Schritt 4.3.1.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Schritt 4.3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Schritt 4.3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\int x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int 2 d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 8

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 8.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int x^{- 2} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C - x^{- 1} + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1} + C$