Analysis Beispiele

$s' (t) = t {(t - 1)}^{2}$

Schritt 1

Die Funktion $s (t)$ kann ermittelt werden durch Bestimmen des unbestimmten Integrals der Ableitung $s' (t)$ .

$s (t) = \int s' (t) d t$

Schritt 2

Sei $u = t - 1$ . Dann ist $d u = d t$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = t - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Schritt 2.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int (u + 1) u^{2} d u$

Schritt 3

Multipliziere $(u + 1) u^{2}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int u \cdot u^{2} + 1 u^{2} d u$

Schritt 3.2

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\int u^{1} u^{2} + 1 u^{2} d u$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int u^{1 + 2} + 1 u^{2} d u$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$\int u^{3} + 1 u^{2} d u$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $u^{2}$ mit $1$ .

$\int u^{3} + u^{2} d u$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int u^{3} d u + \int u^{2} d u$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{2} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $t - 1$ .

$\frac{1}{4} {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} {(t - 1)}^{3} + C$

Schritt 9

Die Funktion $s$ wird vom Integral der Ableitung der Funktion abgeleitet. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Analysis.

$s (t) = \frac{1}{4} \cdot {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(t - 1)}^{3} + C$